平面向量基本定理及向量的坐标表示

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1、重点难点重点：①掌握平面向量基本定理，会进行向量的正交分解②理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算难点：向量的正交分解与平面向量基本定理知识归纳1．平面向量基本定理(1)如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使得a＝.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．a1e1＋a2e2当θ＝0°时，a与b方向；当θ＝180°时，a与b方向；当θ＝90°时，称a与b．3．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．相同相反垂直4．平面向量的

2、直角坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．误区警示已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标．本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误为向量坐标，二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆．a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a、b都是非零

3、向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.解题技巧证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若

4、a·b

5、＝±

6、a

7、·

8、b

9、，则a与b共线．分析：据向量坐标与向量的始点、终点坐标的关系及数乘向量的定义求解．总结评述：向量的坐标表示是给出向量的又一种形式，只与它的始点、终点的相对位置有关，三者中给出任意两个，都可以求出第三个，必须灵活运用．答案：A答案：D[例2]已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k取何值时k

10、a＋2b与2a－4b平行？解析：当ka＋2b与2a－4b平行时，存在惟一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)．2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)．由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得点评：可由向量平行的坐标表示的充要条件得(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.(文)(2010·江苏苏北四市)已知向量a＝(6,2)，b＝(－3，k)，若a∥b，则实数k等于()A．1B．－1C．－2D．2答案：B分析：求轨迹方程的问题求谁设谁，设C(x，y)，据向量的运算法则及向量相等的关

11、系，列出关于α、β、x、y的关系式，消去α、β即得．答案：D即m＋2n＝1①一、选择题1．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为()A．2a－bB．－a＋2bC．a－2bD．a＋2b[答案]C2．(文)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于()A．－6B．6C．2D．－2[答案]B[解析]a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.[答案]D3．(2010·胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与b

12、垂直，则λ等于()A．－1B．1C．－2D．2[答案]C[解析]λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.[答案]A二、填空题5．(文)(2010·陕西文)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.[答案]－1[解析]由题意得，a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，m－1)，∵(a＋b)∥c，∴1×2－(m－1)×(－1)＝0，∴m＝－1.(理)(2010·上海嘉定区调研)已知e1＝(1,3)，e2＝(1,1

13、)，e3＝(x，－1)，且e3＝2e1＋λe2(λ∈R)，则实数x的值是________．[答案]－5[解析]e3＝2e1＋λe2＝(2＋λ，6＋λ)＝(x，－1)，三、解答题6．如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值．