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《高等数学竞赛模拟试题1-2答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高等数学竞赛试题（一）答案-、填空：（本题12分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）2.函数y=x+2siar在区间上的最大值为—+V3。_2」_33.J2(
2、x
3、+x)e_lvldx=2-6e~二、选择题：（本题12分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1・设函数/（X）可导，并且/z（x0）=5,则当AxTO时，该函数在点x（）处微分⑪是0的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但
4、不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。设函数/（对在点X=处可导，则f（x］在点X=G处不可导的充要条件是（C）（A）/（tz）=0,且厂（q）=0；（B）/⑷HO,但厂（q）=0；（C）/（g）二（），且.厂（G）HO；（D）/（q）HO,且fa）0o曲线y=x-¥7x2-x+1（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。设（p{x,y）均为可微函数，且（p（xfy）0<>已知（心几）是/（兀丿）在约束条件（p
5、（x,y）=0下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D）（A）若人（兀oJo）=O,则方（和儿）=0；（B）若人（兀oJo）=0，则。4.设函数z=z(x,y)由方程z-y-x+xe—'=佢所确定，则l+xe*（D）若/：（x（）J（））H0‘则（c）若£（兀0Jo）Ho'则/；（X（）Jo）=0；/；0wo）hO。三、设函数“）具有连续的二阶导数，且烛字丄0,厂（0）=4,求lim[l+山TxtO（本题9分）解：由题设可推知/（0）=0,广（0）=0,于是有r/（X）fx）厂（兀）=lim、丿
6、=limv7=2。XT（）X?XT（）2XXT（）2故limXT（）=lim1）所确定，求dj—di/,upl+2ln/ee2dx2x=9o（本题9分）解:由史_竺二2_2efdt1+21nZt1+21nZ竺=4（,&得到詈eKT所以d2yd1_d（、ei_e1t1edx2dtdx丿dxdt,2（l+2hv）丿4t~2（1+21nr）24厂铲（1+21nz）22dt而当x=9时,由x=l+
7、2尸及/>1,得（二2,故A2yex=9-4/2（l+21n/）2et=2~16（l+21n2y五、设〃为自然数，计算积分/^f2sin（2/7+1）vdYo（本题9分）Josinx解：注意到：对于每个固定的拜，总有vsin（2/?+l）x小（lim=2h+1,xtosinx所以被积函数在x=0点处有界（兀二0不是被积函数的奇点）。又sin（2/7+l）x—sin（2/1-）x=2cos2/7xsinx,于是有上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有=•••=7,0所以六、设/(兀)是除兀=
8、0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明£是连续的偶函数，但在兀=0点处不可导。(本题9分)证明：因为兀二0是/(X)的第一类跳跃间断点，所以lim/(x)存在，设为则/H0；又因/(兀)为奇函数,所以lim/(x)=-Aof{x)-A,x>0;(p{x)-<0,x-0;[/(x)+4x<0.则0(X)在X=0点处连续，从而0(X)在(-00,4-00)上处处连续，且°(x)是奇函数：当x>0,则一x<0,0(-兀)=/(-兀)+兄=-/(x)+A=-[/(兀)-/]=-0(兀);
9、当x<0,则一x>0,(p{-%)=/(-x)-A=-/(X)-A--[/(x)+=-^(x),即0(X)是连续的奇函数，于是£(p(t)dt是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又所以是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。七、设/(«,v)有一阶连续偏导数，z=f(x2-y2,cos(x^)),x=rcos^,y=rsin^f证明:——coszzsin27=2xy—sinljaJo3rrdu"dv(本题10分)解：设:dz_dzdxdzdy_dxfdzdudzdv)dy(dzdudzdvii•，
10、
11、•ii
12、■i•，11ii■•i■
13、i，drdxdrdydrdrdudxdvdx丿drdudydvdy=2当(xcos"一尹sin»)—宾sin(卩)•(ycos0+xsinz?)duov类似可得尖=-2r李"(xsin»+j^cosM)+李rsin(Ay)•(ysinM—xcosz?),3?9oudv代入原式左边，得到$cos»-丄$sinz?drr3^&一av莎socnsaz一af2sodz=2cos/(xcos/一ysin/)-du——-sin(A^)sinzXysin&-
