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1、第八讲整除问题在学习整数除法时，我们已经知道：被除数二除数X商+余数。这里要求除数不为零，口余数小于除数。当两个整数Cl、b（b和）,a被b除的余数为零（商为整数）时，则称。被b整除或者b整除°,也把d叫做b的倍数，b叫做。的约数，记作bao如果。被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除°,记作很显然，1是任何整数的约数，即对任何的整数d,总有0是任何非零整数的倍数，狞0,a为整数，则冰）。一般来说,整数。是否能被整数方整除,只要真正做除法就可以判断。但是对于一些特殊数，可以有比较
2、简单的判断方法。一.数的整除的特征1.我们已经学过奇数和偶数，正是以能否被2整除来区分偶数和奇数的。因此有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。偶数可以表示为2匕奇数可以表示为2好1（其中£为整数）。2.末位数字为0的整数一定能被10整除。这种数总可以表示为Wk（k为整数）。3.末位数字为0或5的整数一定能被5整除。这种数总可以表示为5R以为整数）。4.末两位数字组成的两位数能被4（或25）整除的整数一定能被4（或25）整除。如2016=2000+16因为100是4和25的倍
3、数，所以2000是4和25的倍数，只要考察16是否为4或25的倍数即可，由于4
4、16,25、16,所以4
5、2016,25、2016.能被25整除的整数，末两位数字只可能是00、25、50、75o能被4整除的整数，末两位数字可能是00、04、08、12、16、……、96.5.末三位数字组成的三位数能被8（或125）整除的整数一定能被8（或125）整除。由于1000=8X125,因此1000的倍数当然也是8和125的倍数。如判断765432是否为8的倍数，只需看末三位数字组成的三位数432能否被8整除
6、即可。432W54,即8
7、432,所以8
8、765432.6•各个数位上的数字之和能被3（或9）整除的整数必能被3（或9）整除。如478323是否能被3（或9）整除？由于478323=4X100000+7X10000+8X1000+3X100+2X10+3=4X（99999+1）+7X（9999+1）+8X（999+1）+3X（99+1）+2X（9+1）+3=（4X99999+7X9999+8X999+3X99+2X9）+（4+7+8+3+2+3）.前一个括号里的各项都是3（或9）的倍数，因此判断4
9、78323是否能被3（或9）整除，只要考察第二个括号里的各数Z和能否被3（或9）整除。而第二个括号内的各数Z和恰好是原数478323的各个数位上的数字Z和。因为4+7+8+3+2+3=27是3的倍数，也是9的倍数，所以478323可以被3（或9）整除。7.一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、……称为奇数位；十位、千位、十万位、……称为偶数位。）如判断42559能否被11整除。42559=4X10000+2X1000
10、+5X100+5X10+9=4X（99994-1）4-2X（1001-1）+5X（99+1）+5X（11-1）+9=（4X9999+2X1001+5X99+5X11）+（4-2+5-5+9）=11X（4X101+2X91+5X9+5）+（4—2+5—5+9）前一个部分显然可以被11整除，因此只需判断后一部分4-2+5-5+9是否是11的倍数即可。而这一部恰好是奇数位的数字之和减去偶数位的数字之和的差。由于4-2+5-5+9=11是11的倍数，所以42559可以被11整除。现在要判断7295871是
11、否为11的借数，只需直接计算（1+8+9+7）-（7+5+2）是否是11的倍数即可。（1+8+9+7）-（7+5+2）=25-14=11是11的倍数，所以7295871是11的倍数。上面所举的例子都是奇数位数字之和大于偶数位数字之和的情形。如果奇数位数字和小于偶数位数字和怎么办？这时只需计算偶数位数字之和减去奇数位数字之和即可。我们还发现任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能够被11整除。如186这个三位数，连写两次得到六位数186186,由丁•这个数的奇数位的数字和是6+1+8,偶数位的数字和
12、是8+6+1,它们的差为0,所以186186是11的倍数。一般地，三位数赢连写两次组成的六位数abcabc,这个六位数的奇数位的数字和是c+d+b,偶数位的数字和是Zt+c+q,它们的差为0,故必冇111abcabc0象这样的六位数能否被7整除呢？如186186被7除后商为26598,余数为零，即7
13、186186o能否不做1861864-7,而冇简单的判断方法呢？由于186186=186000+186=186X1001,而1001=7X11X13,所以186186—定能被7整除。这
