杆件结构的有限元法直接刚度法

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1、第二章杆件结构的有限元法2-1引言杆的特点：只能承受拉力或压力变形和位移的关系：对于杆件系统：式中刚度矩阵节点力向量节点位移向量杆件系统存在一个整体刚度（矩阵）。知道了这个刚度就可以由系统外力求出各节点的位移。这就是本小结应掌握的一个重要概念。如何求出杆系的刚度矩阵呢？2-2弹簧系统的刚度矩阵一单个弹簧的刚度矩阵弹簧系统是由节点（铰链）把一系列弹簧连接起来的系统。如果把弹簧系统拆开，可以得到弹簧和铰链。从其中取出任意一个弹簧，弹簧的两端会受到来自节点（铰链）的作用力。单个弹簧两端节点的位移和力向量的关系是：为了求出，将上图看作是两个简单的系统，如下图所示，然后合

2、成。（1）只有节点1可以变形，节点2固定因为所以（2）只有节点2可以变形，节点1固定这时（3）叠加（1）（2），就得到与原式问题一样的结构。叠加结果为：作用于节点1的合力作用于节点2的合力或写成矩阵形式上式可以简写为其中单元节点力向量单元刚度矩阵单元节点位移列向量上式的特点弹簧上的节点力是来自于铰链的弹簧上的节点位移的值是唯一的单元刚度矩阵的特点对称奇异二组合弹簧的刚度矩阵对于图示的两个弹簧构成的系统。节点位移向量和节点力向量也可以写成为了得到刚度矩阵，可以分成三步来做。（1），只允许节点1有位移，可以得到由静力平衡条件有由于，没有力作用于节点3，因此（2）让，

3、，可以类似的得到（3）最后让，，可以得到（4）合成上式可以简写为上述过程可以用节点力平衡来完成。为此，先写出单元的节点位移和节点力向量的关系式：然后根据节点外力和内力（来自弹簧力）的平衡条件，可以得到：节点1节点2节点3所得结果与前面的一样。实际操作时：根据系统节点总数形成一个空的阶矩阵根据单元刚度矩阵中元素所对应的节点号码，把元素放入上述矩阵中去求和。例如：合成后的结果三方程求解（约束条件的引入）前述刚度矩阵奇异，方程无解。原因：含有刚体位移。如果要求解弹性变形，必须施加约束条件，比如则方程成为求解上式，可以得到系统各个节点的位移。求出节点位移后，可以求出单元

4、内力：单元内力=单元刚度（弹簧两端的相对位移）-单元1的内力：-单元2的内力：由此总结出用有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤：（1）形成每个单元的刚度矩阵；（2）由各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整个系统的刚度矩阵；（3）引入约束条件；（4）以节点位移为未知量求解线性代数方程组；（5）用每个单元的力-位移关系求得单元力。[例]如图所示弹簧系统由3根弹簧组成，k1=1200kN/m，k2=1800kN/m，k3=1500kN/m，节点1和4固定，在节点2和节点3处施加轴向力10kN和20kN，求节点2、节点3的位移和节点1、节点4处的作用力。解：（1）单元分

5、划一个弹簧为一个单元，一共3个单元，4个节点。（2）形成每个单元的刚度矩阵对于弹簧1-2（1单元）对于弹簧2-3（2单元）对于弹簧3-4（3单元）（3）按节点力平衡条件，将单元刚度矩阵叠加成整个系统的总体刚度矩阵（4）求解方程组从已知条件：u1=0，u4=0，F1=?，F4=?；F2=10kN，F3=20kN，u2=?，u3=?可知边界条件的特点为：节点位移给定，力待求；力给定，位移待求。因为u1和u4已经给出，所以只需列出关于求解u2和u3的两个方程。为此，将原方程组简化为解得u2=0.0103603m，u3=0.0117117m。将u1、u2、u3、和u4代

6、入原系统方程，可解得节点1和节点4的作用力校核2-3杆件系统的有限元法一铰支杆系的有限元计算格式杆结构：由直杆在杆端铰接而成。特点：铰接点不能承受力矩必须对杆结构施加约束，以防止它产生刚体运动杆只能承受轴向力整体杆结构在外力作用下不垮掉载荷作用在节点上杆可以水平，垂直，或倾斜。（1）杆单元的刚度矩阵杆的应力与应变的关系为：其中所以刚度为：（2）局部坐标系下的单元刚度矩阵杆在平面上方向任意，单元节点位移为了便于求解，建立两个坐标系：基于杆单元的局部坐标系和用于描述杆系的总体坐标系。单元局部坐标系，沿杆长方向，与总体坐标系的夹角为，垂直于杆长方向。在节点1处：；在节

7、点2处：局部坐标系下的单元刚度矩阵为或——杆件不能承受与杆长垂直的力；——杆件两端不会在的作用下，发生与杆长垂直方向的位移。（3）局部坐标系和总体坐标系的关系为了根据节点的力平衡条件建立杆系总体刚度矩阵，必须将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换到总体坐标系下。节点1处：两边同乘，有同理，由可得合起来写作：类似，可以得到节点2处的力关系。由此可得单元力在局部坐标系和总体坐标系件的关系是或其中：，为矢量变换矩阵节点位移也是矢量，其在局部坐标系和总体坐标系中的变换关系与力的变换关系相同根据力和位移的变换关系，就可以把局部坐标系下的单元刚度矩阵，转换成总体坐标系下的单元刚度

8、矩阵。（4）总体坐标系下