矩阵及其运算

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1、矩阵及其运算1矩阵概念的引入例1一家开办了3个练油厂的公司，每个炼油厂生产3种食油产品：燃料油、柴油和汽油.设从1桶原油中第一个炼油厂可以生产出64升燃料油、32升柴油及16升汽油；第二个炼油厂可以生产出32升燃料油、80升柴油及40升汽油；第三个炼油厂可以生产出32升燃料油、32升柴油及80升汽油，这些数据可以用下列数表表示.A的每一列是一个炼油厂生产的三种产品数量，A的每一行是三个炼油厂生产某一钟产品的数量.像A这样由3×3个数组成的长方形表格，称为矩阵.例2线性方程组的解取决于系数常数项对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原

2、位置可排为例3某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.矩阵的定义由m×n个数aij（i=1,2,…,m;j=1,2,…n)排成的m行n列的数表简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线如果m=n,则称A为n阶矩阵或n阶方阵.n阶方阵也记作An.只有一行的距阵称为行距阵，又称行向量.只

3、有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量.两个矩阵的行数相等、列数相等时，称它们是同型矩阵.如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B只有一个元素a的矩阵称为一阶距阵，记作(a),所有元素都是零的矩阵称为零距阵，记作０.注意不同型的零矩阵不相等.例设解n阶方阵叫做n阶单位矩阵，简记作Ｅ或Ｉ，其特点是主对角线上的元素都是０，即上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。如：等……下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵。例的线性变换，其中aij为常数，线性变换(*)

4、的(*)与m个变量表示一个从变量到变量系数构成矩阵系数矩阵若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.阶方阵这个方阵的特点是：不在主对角线上的元素都是0。这种方阵称为对角阵。对角阵也记作对应又例如线性变换加法2.矩阵的运算设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如矩阵加法的运算规律数与矩阵相乘数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算机，月产量（单位：台）为如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）为矩阵与矩阵相乘则这

5、两家公司的月利润（单位：万元）应为可见，甲公司每月的利润为29．1万元，乙公司的利润为34．1万元．矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：则由元素构成的m×n矩阵称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB．⑶乘积C中第i行第j列元素Cij等于A的第i行元素与B的第j列元素对应乘积之和，即．⑴A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；⑵乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；由定义可知：例设例故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且注意矩阵不满足交换律，即：例设则

6、但也有例外，比如设则有（1）一般地，，即乘法不满足交换律。（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。小结与特别地，有：，即可交换。（4）（3）或矩阵的乘法运算不满足消去律定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例转置矩阵转置矩阵的运算性质例已知解法1解法2对称阵：若n阶方阵A满足，则称A为n阶对称阵。例如★分块矩阵的概念用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子块，以这些子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。例如则A可记作称A为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的分块矩阵。

7、如：则不是分块矩阵。★分块矩阵★分块矩阵的加减运算设A、B同型，且采用完全相同的分块方法，得则注意：Aij与Bij同型★分块矩阵的数乘及转置设将A分块得则分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身再转置。如先把子块当作元素运算，然后子块再运算。——只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。★分块矩阵的乘法运算设A、B矩阵分块得则其中注意：A的列块数=B的行块数；Aik的列数=Bkj的行数例题：设将A、B适当分块，计算AB解将A、B作如下分块：在一、二行之间插入横线，在一、二列之间插入竖线（如题目所示），则则而所以★分块对角矩阵其中对角线上的子块全是方阵

8、，其余子块是零矩阵。如（