[专题]高考数学难点突破难点14数列综合应用问题

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1、难点14数列综合应用问题纵观近儿年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而口述与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题屮有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题•这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.•难点磁场/+2(2(★★★★★)已知二次函数在x=处収得最小值一一(f>O)y(l)=O.2⑴求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)•g(x)+altx+bn=x,+i［

2、g(Q］为多项式，试用r表示an和bn；(3)设圆的方程为(x—给F+e一仇)2=心2,圆C”与c”+］外切(心1,2,3,…);｛心｝是各项都是正数的等比数列，记S”为前舁个圆的面积Z和，求心、S“.•案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少丄，木年度当地旅游业收入佔计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加丄.4(1)设料年内(本年度为第一年)总投入为给万元，旅游业总收入为b”万元，写出禺，加的表达式；(2)至少经过儿年，旅游业的总

3、收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考杳建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考杳综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近儿年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题H.知识依托：木题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问％加实际上是两个数列的前n项和，易为“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问屮指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第

4、2年投入为800X(1-丄)万元，…笫〃年投入为800X(1—丄)”T万元，所以，八年内的总投入为I1n1f/,.=800+800X(1——…+800X(1——)"T二工800X(155殳=］54=4000X[1—(―)"]5第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400X(1+丄)，…，第n年旅游业4收入400X(1+丄)”T万元.所以，77年内的旅游业总收入为4

5、1C久=400+400X(l+-)+・・・+400X(l+-/_,=y400X(-/_,.44台4=1600X[(丄)"一1]4(2)设至少经过料年旅游业的总收入才能超过总投入，由此九一禺>0,即:1600X[(

6、丄)"一1]-4000X[l-(-)n]>0,令x=(-)代入上式得：5?-7x+2>4552420•解此不等式，得%<-,或兀>1(舍去)•即(兰)山此得555・••至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.[例2]己知S”=l+丄+丄+•・•+丄,(/7€N“)设血)二S2“+】一S“+i^确定实数加的取值范围，23n使得对于一切大于1的自然数〃，不等式:/(/?)>[logw(/M—1)]2——[log(zw-i)?n]2恒成立.命题意图：本题主耍考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需鮫强的综合分析问题、解决问题的能力•属★★★★★级题目.知识依托：木题把函数、不等式恒

7、成立等问题组合在一起，构思、巧妙.错解分析：本题学牛•很容易求700的和，但山于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决木题的关键是把和)SEN*)看作是斤的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数血)的最小值大于[log,n(m—I)]2——[log(m-i)rn]2.解：VS„=l+-+-+-+-.(n^N")23nf(w)=S亦]—S“+]2n+111112h+22/i+3/?+21121In+22n+32n+4=()+(—)2〃+22〃+42斤+32/1+4•••加+1)>加)・••心)是关于〃的增函数min=A2)=F2+2920•••要使一切大于1的自然数弘不等式f(

8、n)>LlogJ/77—1)][log伽-1艸]2恒成立9只要刃＞[log叶1)加]2成立即可m>0,m1「由Q得m>l几加工2[m-l>0,/?7-1H1此时设[logw(m-1)]2=t则t>0_9_>__H于20>f~20解得00由此得0V[log“伽一1)]Vi解得加舲2.2•锦囊妙计1•解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识，乂要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出