矩阵的特征值与特征向量(2)

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1、§4.1矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值特征值与特征向量的性质第四章矩阵的特征值说明一、矩阵的特征值说明说明求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题.解例例设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明例设矩阵A为对合矩阵(即A2=I),且A的特征值都是1,证明:A=I.由于A的特征值都是1,这说明-1不是A的特征值,即

2、A+I

3、0.因而I+A可逆.(I+A)-1即可得A=

4、I.在(I+A)(I-A)=0两端左乘由A2=I可得(I+A)(I-A)=0,证明例试证证：必要性如果A是奇异矩阵，则

5、A

6、＝0。于是即0是A的一个特征值充分性：设A有一个特征值为0，对应的特征向量为x.由特征值的定义有：齐次线性方程组有非零解，由此可知

7、A

8、＝0，即A为奇异矩阵.亦可叙述为：证明即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此必有相同的特征值.二、特征值与特征向量的性质证明:则类推之，有定理3：把上列各式合写成矩阵形式，得注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向

9、量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．说明１.在复数范围内，n阶方阵A一定有n个特征根，其中可能有重根和复根.２.定理4表明，全部特征根的和与A的主对角线元素的和相等；全部特征根的乘积等于

10、A

11、.当detA=0时,A至少有一个零特征值.3.当detA0时,A的特征值全为非零数