经济计量学讲义(线性回归的基本思想)

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1、计量经济学讲义线性回归的基本思想重庆大学贸易与行政学院2003年12月本次课主要讲解四部分内容：1、回归的含义2、总体回归函数3、样本回归函数4、参数的估计引言在对经济现象(例如需求法则)建立经济计量模型时，经济计量学大量地使用了回归分析这一统计技术；通过最简单的线性模型——双变量模型来介绍回归分析的基本思想：参数估计和假设检验；本此课讲解：如何进行参数估计。一、回归的含义回归分析是用来研究一个变量与另一个或多个变量之间的关系。1、举例：需求的价格函数；2、我们用Y代表应变量，X代表自变量或解释

2、变量。如果有多个解释变量，用适当的下标，表示各个不同的X，如X1，X2，X3等；3、回归分析并不一定表明一个应变量与另一或多个自变量之间存在因果关系，因果关系的判定或推断必须依据经过实践检验的相关理论。回归分析的作用：通过已知变量的值来估计应变量的均值；对独立性进行假设检验—根据经济理论建立适当的假设；通过自变量的值，对应变量的均值进行预测；上述多个目标的综合。二、总体回归函数一个例子：对《计量经济学》教科书的需求分析概念：总体回归直线告诉我们对应于每一个X值(或任一个自变量)相应的Y(或任何一

3、个应变量)的均值。如：QD=a0-a1PD，右图。右图画出的总体回归直线是线性的，用函数的形式来表示：E(Y｜Xi)=B1+B2Xi(1)E(Y｜Xi)表示给定X值相应的Y的均值（条件期望或条件均值）下标i代表第i个子总体。总体回归直线经过Y的条件期望值。式(1)是总体回归函数的数学形式。在这里，总体回归函数是线性函数。B1，B2为参数，也称为回归系数。B1又称为截距，B2又称为斜率。斜率度量了X每变动一单位，Y的均值的变化率。回归分析就是条件分析，因此式（1）表示为：E(Y)=B1+B2Xi总

4、体回归函数误差的设定总体回归函数给出了对应于每一个自变量的应变量的平均值。由式（1）得到：Yi=E(Y)+ui=B1+B2Xi+ui(2)其中，ui表示随机误差项或简称为误差项。在某一价格水平上，个人i的需求量是两部分之和：(1)(B1+B2Xi)，即第i个子总体的平均需求量，称为系统的或决定的部分。(2)ui，称为非系统或随机的部分(由价格以外的因素所决定)。式（2）称为随机总体回归函数为什么要加上随机误差项？随机误差项的性质随机误差项可能代表了模型中并未包括的变量的影响；ui反映了人类行为中

5、的一些内在随机性，即使模型中包括了所有决定需求量的有关变量；ui也可以代表测量误差；“简单优于复杂”。在价格的需求函数中，可能会由于上述一个或几个原因导致个人需求量偏离群体均值(即系统部分)。在随后的分析中，我们将会看到，随机误差项在回归分析中有着至关重要的作用。用样本回归函数来表示样本回归线：(3)其中，表示总体条件均值E(Y)的估计量；b1表示B1的估计量；b2表示B2的估计量；^读作“帽”。三、样本回归函数总体的数据很难获得；样本回归的任务就是根据样本提供的信息来估计总体回归函数。右图中，

6、并非所有的样本数据都准确地落在各自的样本回归线上。因此，与建立随机总体回归函数一样，我们需要建立随机的样本回归函数：Yi=b1+b2Xi+ei(4)其中，ei是ui的估计量，称ei为残差项(residualterm)，或简称为残差。注意：样本回归函数中生成ei的原因与总体回归函数中生成ui的原因相同。回归分析的主要目的是根据样本回归函数：Yi=b1+b2Xi+ei来估计总体回归函数：Yi=B1+B2Xi+ui由于抽样的不同，所以对总体回归函数的估计仅仅是近似估计，如右图所示。“线性”回归的特殊含

7、义解释变量线性下面的函数形式不是线性的：a)E(Y)=B1+B2X22b)参数线性下面的模型就是非线性的，因为B2以平方的形式出现：E(Y)=B1+B22Xi(5)计量经济学主要关注参数线性的模型，因此，线性回归是指参数线性的回归，而解释变量并不一定是线性的。四、参数的估计：普通最小二乘法如何进行估计总体回归函数？式(2)所描述的双变量总体回归方程：Yi=B1+B2Xi+u1用下面的样本回归函数来估计它：Yi=b1+b2Xi+ei估计总体回归函数的最优方法：选择B1，B2的估计量b1，b2，使得

8、残差ei尽可能的小。由式（4）得：ei=Yi－b1－b2Xi（6）=[利用式(3)]=实际的Yi－估计的Yi(7)(8)譬如：最小二乘法的原理：所有Yi的真实值与估计值之差的平方和最小普通最小二乘法(OLS)是选择参数b1，b2，使得全部观察值的残差平方和最小。用数学形式表示为：普通最小二乘估计量的性质：运用OLS法得出的样本回归线经过样本均值点，因为残差的均值总为零，即：对残差与解释变量的积求和，其值为零，即：五、应用举例上表给出1967～1990年期间男女学生的词汇及数学分数，假设要根据男生