小学奥数平面几何五大模型举例

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1、小学奥数平面几何五大定律ABDCh1h2l2l2BACh1BCADhDCBAh一、等积模型FEDh2图(1)图(2)图(3)图(4)①等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D为BC中点，则S△ABD=S△ACD如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比如图(2)：S△ABDS△ACD=BDCD③两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图(3)：BC=EF，则S△ABCS△DEF=h1h2④夹在一组平行线之间的等积变形如图(4)：l1平行于l2，则S△ABD=S△ACD反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1

2、平行于l2⑤等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)⑥三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半⑦两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理)两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O），这两个三角形叫做共角三角形．5/5ACBDEABCDE共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 共角互补角图(1)图(2)如图(1)：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ABC与△ADE共∠A如图(2)：D在BA的延长线上，E在AC

3、上；∠BAC+∠BAC＝180O(互补)，则:S△ABC:S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)；或S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。相似符号：“∽”相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形传递性：如果图A相似于图B，图B相似于C，则A相似C即：图A∽图B，图B∽图C；则，图A∽图B∽图Cacbda顺时针旋转90度a翻转a缩小图(1)图(2)图(3)图(4)金字塔模型AD

4、ECBFCOBDA沙漏模型5/5图(1)、图(1)、图(1)、图(1)四个三角相似，即△a∽△b∽△c∽△d沙漏模型中△ABO△∽△CDO；金字模型中：△ABC∽△ADE（1）相似三角形的一切对应线段(对应高线、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；金字塔模型ADBEGCBF（4）相似三角形内切圆、外接圆直径比、周长比等于相似比，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。COBDA沙漏模型h1h2（5）沙漏模型①△ABO∽△CDO②相似比=ABDC=AODO=BOCO＝

5、h1h2③S△ABOS△CDO=12AB×h112CD×h2=ABDC×h1h2=AB2DC2=ABDC2=相似比2（6）金字塔模型①:△ADE∽△ABC②相似比=ADAB=AEAC=DEBC=AFAG③S△ADES△ABC=12DE×AF12BC×AG=DEBC×AFAG=AB2DC2=DEBC2=相似比2四、蝴蝶定理5/5任意凸四边形连接其对角线构成蝴蝶形；或任意两相交直线，分别连接两直线端点即构成蝴蝶ABCDS1S2S3S4O任意四边形BCDAOS2S1S4S3ab梯形中的蝶形任意四边形蝴蝶定理：①S1S2=S4S3或者S1×S3=S2×S4②AOCO=S1+S

6、2S3+S4=S△ABDS△CBD梯形蝴蝶定理：①S1S3=相似比2=ab2=a2b2或s1:s3=a2:b2②s1:s3:s2:s4=a2:b2:ab:ab即S1占梯形总面积a2份，S3占梯形总面积b2，S2和S4占梯形总面积a×b份③梯形面积对应份数为(a+b)2份蝴蝶模型中构建了内部三角形这间的面积关系，同时还建立起了内部三角形面积与相交的两对角线之间的关系。梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。ABCODBCAODFE图1(燕尾)五、燕尾定理在△ABC内找一

7、点O，分别连接三个顶点，并延长交于底边如图1。则：S△ABOS△ACO=BDCD；S△BCOS△BAO=CFAF；S△CBOS△CAO=BEAE5/5因为图的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．上述定理给出了一个转化面积比与线段比的手段，该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形内的三角形面积与对应底边之间提供互相联系的途径.5/5