学生版 第四讲因数与倍数(数的整除特征)

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1、第四讲因数与倍数（数的整除特征）【知识概述】整除是指整数a除以整数b（0除外）除得的商正好是整数而余数是零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a)，记作bla，读作“b整除a”或“a能被b整除”。它与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b（b子0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a)。因此整除与除尽的区别是：整除是指被除数、除数以及商都是整数，而余数是零；除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。整除的一些性质为：（1）如果

2、a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除。（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除。反过来也成立。有关数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征是：个位数字为0，2，4，6，8的整数。（2）能被5整除的数的特征是：个位数字为0，5的整数。（3）能被2，5整除的数的特征是：个位数字为0的整数。（4）能被3（或9）整除的数的特征是：各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数的整数。（5）能被2,3，5整除的数的特征是：个位数字为0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的整数

3、。（6）能被4，25整除的数的特征是：末两位能被4，25整除的整数。如2168，因为68能被4整除（或者说68是4的倍数），我们就说2168能被4整除，但不能被25整除。而如2175就能被25整除，但不能被4整除。而2100既能被25整除，也能被4整除。（7）能被8，125整除的数的特征是：末三位能被8，125整除的整数。如23625，因为625是125的倍数，不是8的倍数，所以23625能被125整除，而不能被8整除。（8）能被11整除的数的特征是：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例题精学例1在□内填上适当的数字，

4、使：（1）34□□能同时被2，3，4，5整除；（2）7□36□能被24整除。第6页共6页【思路分析】（1）题目要求34□□能同时被2，3，4，5整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，所以34□□只要能被3，4，5整除，就一定能被2，3，4，5整除。先考虑能被5整除的条件。个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0。最后考虑能被3整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是3的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2或5，8。又因为50不能被4整除，所以十位数字是2或8。（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3

5、×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3，8整除就行了。先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位教字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9。同步精练1.五位数8□41□中的固内填什么数字，才能被3整除且含有约数5，写出这些数。2.在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能

6、被3，4，5整除，且使这个数值尽可能小。3.既能被2整除，又是3的倍数，还有约数5的最小两位数是多少?最大的两位数是多少？例2四位数7□2□能同时被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？【思路分析】要使四位数7门2同能同时被2，3，5整除，个位上的数是几？又要使四位数7同2]能被3整除，百位上可取哪些数?为什么？满足这些条件的四位数有4个。同步精练1.个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？第6页共6页1.求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。2.四位数6a3b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个?分别是多少?

7、例3有一个两位数不能被3，6，9整除，加上8后就能够被3，6，9整除了，请问这个两位数最大是多少?【思路分析】能被3整除的数的特征是各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。能被9整除的数的特征也是各位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。能被6整除的数的特征是各位上的数字之和能被3整除，而且这个数是偶数，这个数就能被6整除。能被3，6，9整除的数就一定能被18整除。加8后被18整除的最大两位数是82。同步精练1.已知一个五位数是154ab，能被72整除，求a与b的积。2.有一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，知道这个数十位上的数字是

8、1，个位上的数字是2。又知道这个数如果