计量经济学讲义第十讲(共十讲)

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1、浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第十讲ARCH模型及其扩展一、数学准备：迭代期望定律我们在第二讲中的笔记部分涉及到迭代期望定律。作为复习，此处把该定律再展示一次。如果信息集，则有，此即迭代期望定律。为了理解上述等式，考虑一个极端情况：包含了全部的信息，则基于信息集对x的预测将没有任何预测误差，即有：，因此必有。另外，无条件期望所对应的信息集是空集，因此按照迭代期望定律必有：。二、ARCH模型考虑如下一个模型：（1）其中，是白噪声，方差为；和相互独立；。对上述模型，可以验证：（1）练习：证明上式。（2），即误差项序列无关。证明：

2、首先，其次，按照迭代期望定律有：因此有：9浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列（3）证明：令，则有差分方程：由于，故上述差分方程满足平稳性的充分条件：（参见第八讲附录），因此，当t趋于无穷大时收敛于均衡值，其中，即。我们一般都假定所有的时间序列其发生时间都较为久远，因此。笔记：由上述证明可以理解为何规定。上述一系列证明表明是平稳时间序列，如果再施加解释变量x严格外生的条件，则模型满足所有的高斯-马尔科夫假定。因此可以对（1）进行OLS估计得到最优线性无偏估计量。然而，OLS估计并未利用这一条件，因此，必定存在比OLS估计量更有效的

3、估计量，显然，这样的估计量必定是非线性。我们现在不考虑如何估计模型，而是关注这个模型到底具有什么用途这个问题。让我们来考察的条件方差。由于条件期望，因此的条件方差等于。进而有：9浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列具有什么样的含义呢？注意到表示变量y在过去时刻的波动，因此该式意味着：如果已知过去的波动比较大，则当期的波动也比较大，反之亦然。此即金融时间序列常常所具有的“波动集聚”（Volatilityclustering）现象。下图就是“波动集聚”的一个例子。S&P500日收益率（1990.1-1999.12）笔记：在上图中，似乎

4、存在两个转折点。在第一个转折之处，波动由大变小；在第二个转折之处，波动由小变大。但统计规律所关注的是大部分观测结果所具有的规律，因此，由于转折点过少，我们忽略之。于是我们根据该图认为，如果已知过去的波动比较大，则当期的波动也比较大，反之亦然。如果假定服从标准正态分布，则我们可以证明的分布和正态分布相比较是尖峰厚尾（Leptokurtosis）的，见附录1。我们把模型重新表达为：均值方程：9浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列条件方差方程：上述两个方程就构成了所谓的自回归条件异方差（ARCH）模型。笔记：自回归条件异方差并不意味着无

5、条件方差是异方差的，事实上我们已证明，无条件方差是常数，即无条件方差是同方差的。怎么理解这一点？注意到：即无条件方差是对条件方差的平均，因此尽管条件方差是相异的，但无条件方差可以是常数。三、如何检验ARCH效应？注意到条件方差方程是：因此可以建立回归模型：，其中是白噪声。问题在于，不能被观察到。按照Engle(1982)，我们可以先利用OLS估计均值方程获得获得，然后利用OLS估计模型：，最后构造拉格朗日统计量，其中T为样本容量，R2是第二步回归所得的判定系数。在原假设：下，，因此，给定显著水平，当计算出的LM统计值超过了时，则

6、拒绝原假设，认为存在ARCH效应。我们也可以利用F检验来检验ARCH效应。四、如何估计含ARCH效应的模型？我们在前面提到过，当存在ARCH效应时，必定存在比OLS估计量更有效的非线性估计量。假定服从标准正态分布，则的条件分布（以为条件）是正态的。基于上述假定，我们采用极大似然估计法估计ARCH模型，见附录2笔记：的条件分布是正态分布并不意味着的无条件分布是正态的，事实上的无条件分布与正态分布相比较是尖峰厚尾的。9浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列五、GARCH模型保持均值方程不变，但条件方差方程变为：则初始的ARCH模型被拓展

7、为GARCH(p,q)模型。现在我们考虑一个简单的GARCH(1,1)模型，其条件方差方程是：。反复迭代，有：，因此GARCH(1,1)等价于。在实践中，当ARCH(p)模型中的p较大时，我们可以选用GARCH(1,1)模型这个更加简约的模型。对于ARCH(1)模型，其系数约束是：。然而对于GARCH(1,1)模型，其系数约束是：。条件可以保证为正，但为什么要求呢？为了理解这个约束，我们首先对式两边取期望，基于迭代期望定律及其平稳序列具有的性质，有：由于为正，故条件被要求成立。推广：对GARCH(p,q)模型，其系数约束是：9浙

8、江工商大学金融学院姚耀军讲义系列六、GARCH模型扩展（一）非对称GARCH模型在GARCH(p,q)模型中，条件方差的取值只与各近期冲击的数值有关，而与其符号无关。这表明，条件方差对正冲击与对负冲击的反应是对称的。然而研究发现，金融市场尤其是股票市场中普遍存在