《概率论与随机过程》第3章习题答案

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1、3.2随机过程X（f）为禺”=仏。$仙）/+0）式小，A具有瑞利分布，其概率密度为7cr匕仏）=_牛»戸，°>0,。在（0,2龙）上均匀分布，O与Z是两个相互独立的随机变量，何为常（7-数，试问X⑴是否为平稳过程。解：由题意可得：2/tooa1[ooE[X(?)]=JJqcos(如+0)笃w20-2*——dcid(p=ooa2"o2兀/2开

2、，2a?daf——cos(©)/+0)d0=0bo2"82/r

3、Rxx^v^2)=£，MriMZ2)]=JJacosSo"+0bCOS(如2+0)—00/兀

4、boo_a22/r=a2上北2000°=-^a2e&d0'daJco$(©)f]+0)co$(q(』2+0)^~^0aa~egdad$8_a=—^a2de2co•“28a2"2/0%(：2iJ+fcOSx-cas^^-r,)x£cos()(/2_“)OOa1=-2cr2Jld/百0x—cos(0^2_A)=2er2x—coso>0(r2-Z])=a2cosco0(t2-r,)可见E[X(t^与t无关,心X(G(2)与t无关,只与亿-人)有关。2"8"2[E[x2(i)]=

5、p2co

6、s2(6y(/+2a2*——dcid(poo2"oo2"22/r

7、=jtz—2a~daj——cos2(69(/--(p^d(p<+oooao2龙・••X(/)是平稳过程3.4设X（f）是一随相周期过程，题3.4图表示它的一个样木函数,周期为T,幅度a都是常数,f（）是（0,T）上均匀分布的随即变量，求E[x{t^.M)£(+7j=r0+nT+-

8、aT）/（）+"TH—5/55+tiTH—Tn=0843.5随机过程X（f）=Aco$（q）/+0）屮，人和①为统计独立的随机变量，①在（0,2兀）上均匀分布,讨论该随机过程是否冇各态历经性。解：E[X(t)]=[[acos(Q()/+0)p(d)——dad(p=02龙因此该随机过程不具备各态历经性。3.6随机过程X（/）=Acos（5/+0）,其中A可以是，亦可以不是随机变量，⑦是在（0,2龙）上均匀分布的随机变量。求：（1）时间自相关函数及集自相关函数。（2）A具备什么条件两种自相关函数才能

9、相等。解：（1）设A不是随机变量，A是一个常数。时间自相关函数Rxx（tvJ为：设A为随机变量A={«,}集自和关函数为：/?x小（G‘2）XiX2Rxn=E[«1COS（砒

10、+0）幻0（卯2+0）]=12（2）ERXix2Or（2）]=£要使R*e（Sfj）=RxxOr^2）・•.^cosco（）（t2一儿）£（山勺）=牛（?处5（/2-人）/.A2=A要具备A的白相关两数为A?时，两种口相关函数才能相等。3.8设x（t）与Y（t）是统计独立的平稳过程。求证有它们的乘积构成的随机过程Z（r）=

11、X（r）Z（r）也是平稳的。解：^（Z0）=^[%（r）K（O]•••W）是统计独立的，.・.E（Z（/））=E[X（f）]E[F（/）]又・・・X（J7（f）是平稳过程，.・.E[X（f）]=叫EY（t^=myRxx（如^2）=^xx（r）＞Ryy（环乙）=Ryy（厂），厂=5-去，E[z（/）J=mxmy他亿，^2）=e[z（z1）z（z2）]=e[x（z1）x（/2）yO1）y（/2）]=E[x（/1）X（Z2）]E[¥（/1）¥（/2）]=/?xx（r）^YY（r）=^zz（r）•.E

12、[Z（t）]=mxmy愍（5$2）=愍（门与t无关，只与时间差有关。.•.随机过程Z（f）也是平稳的。3.13设随机过程和y（z）平稳,H.相互独立，它们的自相关函数分别为心（刃=2严计心（刃=9+戶刊。又设笫三个随机过程N（/）为Z（r）=VJT（r）y（r）式中V是均值为2,方差为9的随机变量。求2（/）的均值，方差和自相关函数。解:limRx(r)=lim2ecoscd^t=0=mJ=>mx=0r—>ocrTs=>tny=±3limRy(r)=Lim9+异"=9=m：r->oo'zr->o

13、o"limRx(t)=Lim2e~^cosg)qt=2=E^X2(/)]limRx(T)=Lim9+=io=e[y2(^)]=E[v2]-4=9=>E[V2]=13取随即变量V的一个值匕E[Zf⑴]=E[VfX(Z)Y(r)]=E[Vf.]E[x(O]E[Y(/)]=0e[z(/)]=e[zz(/)]=o<=E[Zf(/)]-E2[Zf.(r)]=E[V/X2(r)Y2(r)]-0b；=b；=260;Hz：（4，2）=£国（"忆（『2）]=E[v/X（Z1）Y（^1）VfX（/2）Y（G）]=e