扭转材料力学讲义

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1、第四章扭转4.1概述工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图4-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用表示（图4-2）。以扭转变形为主的杆

2、件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。图4-1图4-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时也研究开口及闭合薄壁截面轴以及矩形截面等非圆截面轴。作为扭转问题的应用，介绍了圆柱形密圈螺旋弹簧应力及变形的计算。4.2外力偶矩与扭矩的计算扭矩图4.2.1外力偶矩的计算轴扭转时的外力，通常用外力偶矩表示。但工程上许多受扭构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和转速，这时可用下述方法计算作用于轴上的外力偶矩。设某轴传递的功率为，转速为，单位（每分

3、钟转速），由理论力学可知，该轴的力偶矩为其中，为该轴的角速度若的单位为千瓦，则若的单位为马力，则应当指出，外界输入的主动力矩，其方向与轴的转向一致，而阻力矩的方向与轴的转向相反。4.2.2扭矩和扭矩图作用在轴上的外力偶矩确定之后，即可用截面法研究其内力。现以图4-3所示圆轴为例，假想地将圆轴沿截面分成左、右两部分，保留左部分作为研究对象，图4-3。由于整个轴是平衡的，所以左部分也处于平衡状态，这就要求截面上的内力系必须归结为一个内力偶矩，且由左部分的平衡方程得图4-3力偶矩称为截面上的扭矩，是左、右两部分在截面上相互作用的分布内力

4、系的合力偶矩。扭矩的符号规定如下：若按右手螺旋法则，把表示为双矢量，当双矢量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负（图4-4）。按照这一符号规定，图4-3中所示扭矩的符号为正。当保留右部分时，图4-3，所得扭矩的大小、符号将与按保留左部分计算结果相同。图4-4若作用于轴上的外力偶多于两个，也与拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，往往用图线来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的情况。图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应横截面上的扭矩。这种图线称为扭矩图。图4-3为图4-3所示受扭圆轴的扭矩图。例4-1传动轴如图4-5所示，主动轮输

5、入功率，从动轮、、输出功率分别为，，轴的转速为，试画出轴的扭矩图。图4-5解按公式计算出作用于各轮上的外力偶矩从受力情况看出，轴在、、三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在段内，以表示1-1截面上的扭矩，并假设的方向为正向，如图4-5所示。由平衡方程得等号右边的负号说明，在图4-5中对所假定的方向与1-1截面上的实际扭矩方向相反。在段内，各截面上的扭矩不变，皆为。所以在这一段内扭矩图为一水平线，如图4-5。在段内，由图4-5，得在段内，由图4-5，得根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线变化

6、的情况，用图4-5表示出来，就是扭矩图。从图中看出，最大扭矩发生于段内，且对于同一根轴，若把主动轮安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩是。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然图4-5所示布局比较合理。图4-64.3薄壁圆筒的扭转纯剪切在讨论圆轴扭转的应力和变形之前，为了研究切应力和切应变的规律以及两者之间的关系，先考察薄壁圆筒的扭转。4.3.1薄壁圆筒扭转时的切应力图4-7图4-7所示为一等厚薄壁圆筒,受扭前在表面上画上等间距的圆周线和纵向

7、线。实验结果表明，扭转变形后由于截面对截面的相对转动，使得圆周线和纵向线所形成的方格的左、右两边发生相对错动，但圆筒轴线及周线的长度都没有变化。于是可设想，薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动。因此，圆筒横截面和包含轴的纵向截面上都没有正应力，横截面上各点只有切应力，且切应力的方向必与圆周相切。圆筒两端截面之间相对转动的角度，称为相对扭转角，用俯表示，图4-7，而圆筒表面上每个格子的直角都改变了相同的角度，图4-7、4-7，这种直角的改变量，称为切应变。由相邻两圆周线间每

8、个格子的直角改变量相等的现象，并根据材料是均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，同时，由于筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变，图4-7。这样，横截面上内力系组成与外加扭转力偶矩相平衡的内力系。由截面以左