实验五_相似矩阵

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1、实验五相似矩阵实验目的：学习有关向量计算和求解矩阵特征值特征向量的Matlab命令，了解施密特止交化程序，并掌握川Matlab实现相似矩阵的相关运算。Matlab命令：E=eig(A)求矩阵A的全部特征值,构成向量E；[V,D]=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成对角矩阵D,并求A的特征向量构成V的列向量;[U,T]二schur(A)产生一个准三角形矩阵T和一个正交矩阵U,使得A=UTU"sqrt(A)求A的平方根;norm(x)求向量x的欧氏(Euclidean)长度;sum(x)求向量x的元素总和;dot(x,y)求向量x和y的内积或直接用x*y'；cros

2、s(x,y)求向量x和y的外积;求x和y的夹角xl=sqrt(sum(x.2))yl=sqrt(sum(y."2))cosang=dot(x/xl,y/yl)若向量的内积dot(A,B)=0,则A、B正交;B=orth(A)实现向量组A的正交规范化，A和B的列向量等价，且B的列向量为两两正交的单位向量,即B为正交阵,满足：IT*B=E或B_1=B,求矩阵A的止交矩阵B的程序：B二orth(A)施密特止交化程序(将矩阵A的行向量组经施密特止交化化为规范止交向暈组)：[jn]二size(A);B(l,:)=A(1,:)/norm(A(l,:));sum=zeros(1,

3、j);fori=2:nfork=l:(i~l)sum=sum+ciot(A(i,:),B(k,:))*B(k,:);endB(i,:)二(A(i,:)-sum)/norm(A(i,:)一sum);sum二zeros(1,j);endB例1：已知向量A二[012345678],B=[123456789](1)求A、B两个向量的长度；(2)求A、B两个向量的内积；(3)求A、B向量的夹角;(1)»A二0:8;»B二1:9;>>norm(A)ans=14.2829>>norm(B)ans=16.8819(2)»dot(A,B)ans=240(3)方法一：>>Al=sqrt

4、(sum(A."2));>>Bl=sqrt(sum(B.2));>>cosang=dot(A/Al,B/Bl)cosang=0.9953方法二>>dot(A,B)/(norm(A)*norm(B))ans二0.9953例2：判断A二［111］和B二［1-2-1］是否正交。»A二[111];»13二[1-2-1];»dot(A,B)ems=-2分析：内积不为o,则不正交。例3：把矩阵A=001,0101)-1的列向量纽正交规范化.-1»A二[1-111;100-1;001-1;0101];>>B=orth(A)0.5000-0.8660-0.0000-0・0000-0

5、.5000-0.2887-0.81650.0000-0.5000-0.28870.40820.70710.50000.2887-0-40820.7071>>clearall»A=[l-111;100-l;001-l;0101];»B=orth(A)0.5000-0・8660-0・0000-0.0000-0.5000-0.2887-0.81650.0000-0.5000-0.28870.40820.70710.50000.2887-0.40820.7071另解：施密特止交化>>formatshort»A二[1-111;100-l;001-l;0101];A二A';»[

6、jn]=size(A);B(l,:)=A(1,:)/norm(A(l,:));sum二zeros(1,j);fori=2:r)fork=l:(i~l)sum=sum+dot(A(i,,B(k,:))*B(k,:);endB(i,:)=(A(i,:)-sum)/norm(A(i,:)-sum);sum二zeros(1,j);endBB二0.70710.707100-0.40820.408200.81650.2887-0.28870.86600.28870.5000一0・5000一0・50000.5000»C-B，C二0.7071-0.40820.28870.50000

7、.70710.4082-0・2887-0.5000000.8660-0.500000.81650.28870.5000例4：求C=[l2;21]的特征向量和特征值»C=[l2;21];»[a,b]=eig(C)a=-0.70710.70710.70710.7071b=-1003分析：矩阵C有两个特征值-1和3,-1对应的特征向量为(-0.7071,0.7071),3对应的特征向量是(0.7071,0.7071)例5：求A二[23131527;1469;11243024;6172325]特征向量和特征值。»A=[23131527;1469;11243024;617