资源描述：
《从一题多解中来探讨二面角的求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、从一题多解中探讨二面角的求法湖南邵东三中刘强刚立体几何中，空间角有线线角、线面角与面面角三类，而二面角乂是高中数学教学的重点和难点,英难就难在它不能直接度量，盂借助于它的平面角来度量.而平面角既〃死〃又〃活〃,说它〃死〃，是指其三个条件：（1）顶点在棱上；（2）边分别在两个半平而内；（3）边与棱垂直.三者缺一不可，尤其是线线垂直不直观，难以把握，说它〃活〃，就是指它的顶点在棱上没有固定位置，具有开放性.为突破这一难点，下而从一例多解来谈谈常见的二面角求法.首先我们--起来回忆理解二面角的基础知识。
2、1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二而角。这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二血角的面。2、而二而角的度暈是用平面角，称为二面角的平而角。具体的定义如下：一个平面垂直于二面角的棱/，且与两个半平面的交线分别是OA、0B,0为垂足，则ZAOB叫做二面角a-l-0的平面角。角的范围是［0,兀］.3、二面角的通常求法（1）由定义作出二面角的平面角；（2）作二面角棱的垂面，则垂血与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平血角。（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；（
3、4）空间坐标求二面角的大小,利用异面直线（两直线垂直于棱）所成的角，平面的法向（5）射影面积法cose=s^s下面通过一个例子多种解法让同学们理解立体几何中的二面角的求法。例：PA丄平面ABC,AC丄BC,PA=AC=,BC=ylT,求二面角A—PB—C的大小.方法1:找二面角的平面角在她心中，C卄笛罟如图，作丄于H,因为PA丄平面ABC,所以CH丄P4,从而CH丄平面P4B,作丄PB于Q,连CD,由三垂线定理得CD丄所以ZCDH为二面角A-PB-C的平面角.•・•PA丄平面购C,PA丄BC,丄
4、AC.・.BC丄平面PAC.:.BC丄PC•在等腰直角三角形PCB中，易知CD=lf在“CHDg'CDH寻告,故二面角5一C的大小是沁呼教学分析：利用三垂线定理作出二面角A-PB-C平面角，但有些题目是比较难以找出所求的二面角的平面角的。方法2:利用垂直于棱的两异面直线所对应的向量如图，取PB的中点D,连结CD,因为PC=CB=V2,所以CD丄P3,作AE丄PB于E,则二面角A-PB-C的大小等于异面直线DC与EA所成角0的大小.因为PA=1,PB=yJPA2+AB2=yjPA2+AC2+BC2=
5、2DA211所以PEF亍又叫DE=PD-PEp且忑丄丽,反丄丽，得知胚=疋+而+反I可=(2”『A「”『+2AE•ED+2EDDC+2AEDC=
6、洞2+
7、e5
8、2+
9、5c
10、2+0+0+洞.
11、5c
12、cos（^-一3）Q1A?于是1=二+上+1—2x=xlxcos0442•■•C0S^=T二面角A-PB-C的大小是arccos——3教学分析：将二面角转化为两异面直线所成的角，利用a=yla-a间接求岀异面直线所成的角，可省去认定二面角的平面角的过程，但是注意根据异面直线所成角的范围与二面角的平面角范围
13、不同去判断所求的角是锐角、钝角还是直角，这是向学生要说明的地方。方法3:利用空间直角坐标系，求异面直线所成的角252,2p1rv211222以A为原点,AC,AP为Y,Z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(V2丄0),C(()丄()),P(0,0,l),丽=((),0,1)西=(血,1,—1),丽=(0,—1,1),而=(血,0,0),设PB的中点为D,则CD=
14、(CP+CB)=•••CDPB=又化讐¥，Cg,心］，由AC“E+ED+",•••CD丄PB作AE丄PB于掇~PE=ZPB=（
15、V2A,2,=AP+PE・・•AE1~PB,:.AE~PB=（V2A,A,-A+1）•（血,1,一1）=42-1=0,./I=-:.AE~T'4'47rvi13、fV211）4‘4'4丿72'2‘2/2V33以A为原点,AC,AP为Y,Z轴建立空间直角坐标系，则人（0,（）,0）』（血,1,0）,（?（（）丄（））/（0,0,1）,乔=（（）,（）,1）两=（血,1,_1）丽=（0,_1,1）,西=（血,0,0）,设平面PAB的法向量为加=（兀,y,z）,则（x,y,z）・（0,0,1）=
16、0j（x,y,z）•（血,1,0）m•AP—0nm•AB—0=0令%=1,则万=（1,—血,0）设平面PBC的法向量为H=则（#,y冷）•（血,0,0）=0（兀"，0・（0,—1,1）=0令y=ljljn=（o,-l,-l）/加.〃_>/3〃・CB=0—―n・CP=0■—>m■ny=-z=0AECD设二面角A-PB-C=0.则cos0=—二AEiCD二面角—的大小是arccos£教学分析：这也是将二面角转化为两异面直线所成的角，建立空间直角坐标系，在二面角的两个半平面内，分别从棱
