初中数学函数压轴题：将军饮马问题----最短路径最小值问题专题训练

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1、将军饮马问题的应用:短路径最小值问题专题训练“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前來向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走

2、近道，少走冤枉路。我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。下面我就几个例题来具体分析解决。【典例探究】(•梧州)如图，抛物线y=ax2+bx-4(aHO)与x轴交于A(4,0)、B(-1,0)两点,过点A的直线y=-x+4交抛物线于点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使ABDE的周长鼓小，

3、求此时E点坐标；(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A->C->B->D->A±运动时，是否在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先判断出周长最小吋BE丄AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可；(3)三角形BDE是直角三角形时，由于BD>BG,因此只有ZDBE=90°或ZBDE二90°,两种情况，利用直线垂直求出点E坐标.【解答】解：(1)I抛物线y=ax2+bx-

4、4(aHO)与x轴交于A(4,0)、B(・1,0)两点，16a+4b-4=0a-b-4=0・・・严r[b=-3・••抛物线解析式为y=x2-3x-4,(2)如图1,作点B关于直线AC的对称点F,连接DF交AC于点E,由(1)得，抛物线解析式为y=x2-3x-4①,・・・D(0,-4),•・•点C是直线y二・x+4②与抛物线的交点，・・・联立①②解得，(口(舍)或严P(y=0[y=6:.C(-2,6),VA(4,0),・•・直线AC解析式为y二・x+4,T直线BF丄AC,且B(-1,0),•••直线BF解析式为y二x+

5、1,设点F(m,m+1),•・•点G在直线AC上,・・・F(4,5),VD(0,・4),・・・直线DF解析式为y丄x・4,4・・•直线AC解析式为y二・x+4,・・・直线DF和直线AC的交点E（誇，誇）,(3)VBD=V17,由（2）有，点B到线段AC的距离为盼評評书〉BD,AZBED不可能是直角,VB(-1,0),D(0,・4),/.直线BD解析式为y=-4x+4,VABDE为直角三角形，.•.®ZBDE=90°,・・・BE丄BD交AC于B,・・・直线BE解析式为y=Xx+丄，44・・•点E在直线AC：y=-x+4

6、的图象上,・・・E(3,1),②ZBDE=90°,・・・BE丄BD交AC于D,・・・直线BE的解析式为y丄x-4,4*/点E在抛物线y=x2・3x・4上，・•・直线BE与抛物线的交点为（0,-4）和（旦，-51）,416・・.E（旦,・邑）,416即：满足条件的点E的坐标为E（3,1）或（旦，・里）・416J题通点距离点即为【学以致用】1•如图，正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是2.如图,牧童在A处放牛，他的家在B处，1为河流所在直线，晚上冋家时要到河边让牛饮

7、一饮水,饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短？A.3.如图，点P为马厩,AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水,最后回到马厩•请帮他确定一条最短行走路线.4.（•贺州）如图，矩形的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐咏为（10,8）,沿直线0D折叠矩形，使点八正好落在BC上的E处，E点坐标为（6,8）,抛物线y=ax2+bx+c经过0、A、E三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当APAD的周长最小时，求点P的坐标

8、.【分析】(1)利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)设AD二x,利用折叠的性质可知DE=AD,在RtABDE中,利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；(3)由于0、A两点关于对称轴对称，所以连接OD,与对称轴的交点即为满足条件的点P,利用待定系数法可求得直线0D的解析式，再由抛物线解