动态几何中的定值问题 (2)

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1、动态几何中的定值问题广西大学附属中学数学组李佳2017.6.20动态几何中的定值问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面学生综合分析和解决问题的能力。动态几何中的定值问题是指在研究的图形中有一部分图形的大小、位置固定，而另一部分图形的大小、位置按某种规律变动，但是与变动图形有关的几何量一定。下面举几例来看看动态几何中的定值问题。例1．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否

2、为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：切线的判定；等边三角形的性质．.专题：证明题．分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD=∠COD，再根据圆周角定理得∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理得AB是⊙O的切线；（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DM=DN，根据四边形内角和得∠MDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠MDE=∠NDF，接着证明△DME≌△DNF

3、得到ME=NF，于是BE+CF=BM+CN，再计算出BM=BD，CN=OC，则BE+CF=BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．解答：（1）证明：连结OB、OD，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∴∠ODB=90°，∵∠BMC=∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：BE+CF的值是为定值．作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC

4、=60°，∴DM=DN，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF，在△DME和△DNF中，，∴△DME≌△DNF，∴ME=NF，∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，在Rt△DMB中，∵∠DBM=60°，∴BM=BD，同理可得CN=OC，∴BE+CF=OB+OC=BC，∴BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也可了等边三角形的性质．例2．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C

5、三点，∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果∠ACB=75°，①若⊙O的半径为2，求BD的长；②试问CD：BC的值是否为定值？若是，直接写出这个比值；若不是，请说明理由．（考点）切线的判定；相似三角形的判定与性质．（专题）证明题．（分析）（1）由∠DOC=2∠ACD=90°易得∠ACD=45°，△OCD为等腰直角三角形，则∠OCD=45°，于是可计算出∠OCA=90°，则可根据切线的判定定理得到直线AC是⊙O的切线；（2）①由于∠ACB=75°，∠ACD=45°则∠DCB=30°，由△OCD为等腰直角三角形得到CD=OC=2，根据圆周角定理得到∠DBC=∠C

6、OD=45°，作DH⊥BC于H，如图，利用解直角三角形，先在Rt△CDH中求出DH=CD=，然后在Rt△BDH中可计算出BD的长；②设⊙O的半径r，则CD=r，与①一样先求出DH=CD=r，CH=DH=r，再求出BH=DH=r，所以BC=BH+CH=r，然后的值．（1）证明：∵∠DOC=2∠ACD=90°，∴∠ACD=45°，△OCD为等腰直角三角形，∴∠OCD=45°，∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°，∴OC⊥AC，∴直线AC是⊙O的切线；（2）解：①∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠DCB=30°，∵△OCD为等腰直角三角形，∴CD=OC=2，∠DBC=∠COD=45°，作D

7、H⊥BC于H，如图，在Rt△CDH中，∵∠DCH=30°，∴DH=CD=×2=，在Rt△BDH中，∵∠DBH=45°，∴BD=DH=×=2；②CD：BC的值是定值．设⊙O的半径r，则CD=r，在Rt△CDH中，∵∠DCH=30°，∴DH=CD=r，CH=DH=r，在Rt△BDH中，∵∠DBH=45°，∴BH=DH=r，∴BC=BH+CH=r，∴===﹣1．（点评）本题考查了切线的判定：经过半径的外