勾股定理的应用 (18)

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1、课题《勾股定理的综合运用》教案洪湖市峰口镇中心学校：蔡明英【教学内容】勾股定理的综合运用【学习目标】1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．2.以复习勾股定理为载体，让学生扎实掌握基础知识的同时，探究出解决折叠问题、面积问题、最短路径问题等的基本策略和基本方法；3.通过对综合题的探究学习，培养学生分析推理、概括归纳的能力，同时逐步形成数形结合、分类讨论、转化、方程等数学思想；4.使学生体验数学建模思想，进一步培养学生解决实际问题的能力.5.使学生体会数学知识的现实价值，激发学生学习数学的兴趣.【重点难点】教学重点掌握方法

2、、形成思想，养成思考习惯，提高思维能力.教学难点将实际问题转化为数学问题，构建几何模型.【教学方法】自主探究，合作交流.【教学过程】一、经典回眸知识再现1.勾股定理及勾股定理的逆定理的内容是什么？l勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么:a2+b2=c2l勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a、b、c且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2.含300角、450角的直角三角形的三边有什么数量关系？l含300角的直角三角形的三边之比为1:√3:2l含450角的直角三角形的三边之比为1:1:√23.求线段长的基本方法是什么?l求线段长时

3、我们总是想办法寻找或创造Rt△,再用勾股定理求线段的长.4.点A、B在直线L的同侧，如何在直线L上求作点P，使PA+PB最小？作法：1.作点A关于直线L的对称点A/.2.连接A/B交直线L于点P.∴点P即为所求.此时PA+PB=A/B7【设计意图】：通过以上问题的思考，让学生回顾所学知识，为下面的练习与学习做好铺垫.一、热身训练强化基础（完成下列填空题）1.直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边的长为.2.已知△ABC的三边之长分别为5、12、13，则△ABC的面积为.3.在Rt△ABC中，∠C=900,∠B=600,AC=3√3,则BC=.AB=.4.在Rt△AB

4、C中，∠C=900,AC=BC，AB=3√2，则AC=.5.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米.【设计意图】：通过练习达到承上启下，温故知新的目的，从而使学生达到知识的迁移.三、典例精析形成技能例1：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短距离是多少？解：连接AC，作CE⊥AB于E.则四边形EBDC为矩形∴EC=BD=8米，BE=CD=4米AE=AB-BE=10米-4米=6米在Rt△AEC中，AC=√AE2+EC2=√AE2+EC2=10（米）答：小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树

5、的树梢的最短距离是10米.【解题收获】：创造直角三角形，利用勾股定理求线段长.【设计意图】：设置学生熟悉的情境问题，激发学生的学习热情，通过本题的教学使学生掌握求线段长的基本方法和思想.例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求四边形ABCD的面积．7解：连接BD，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+32=5在△ABD中，∵AD2+BD2=122+52=132=AB2∴△ABD是直角三角且∠ADB=900.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=1/2*AD*BD+1/2*BC*CD=1/2*12*5+1/2

6、*4*3=36(平方单位）【解题收获】：1.在直角三角形中，已知两边就想求第三边.2.在三角形中，已知三边长时就想是否能用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形.3.四边形的面积转化为两个三角形的面积之和.[设计意图]：灵活运用勾股定理及其逆定理来解决几何图形的面积问题．例3：如图，E为边长为2的正方形ABCD的边BC的中点，在对角线AC上找一点M，使BM+EM的值最小，并求此最小值。解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称.连接DE,交AC于M点，点M即为所求.即：此时，BM+EM的值最小，就是线段DE的长.在Rt△DCE中,DC=2,CE=1/2BC=1由勾股定

7、理得：DE=√DC2+CE2=√22+12=√5∴BM+EM的最小值为√5【解题收获】:1.会找点M使BM+EM最小.2.BM+EM的最小值就是线段DE的长.3.用勾股定理求线段DE的长.【设计意图】：线段和最小问题是近年的考试热点.利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”问题，体会“化曲为直”的转化思想.7四、综合运用能力提升教学说明:为学生提供自主探究的空间，让学生既能独立思考，又能互相合作.①学生分小组讨论，老师巡班指导；②学生汇报探究成果，根据反馈信息