二项式定理[高考数学总复习][高中数学课时训]

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1、二项式定理Q基础自测1.在(l+x)”(nWNj的二项展开式中，若只冇/的系数最大，则n二答案102.在(a2-2a3)的展开式中，则下列说法错误的有个.①没冇常数项②当且仅当n二2时，展开式中有常数项③当且仅当n=5时，展开式中冇常数项④当沪5k(kGN”)时，展开式中有常数项答案33.若多项式C》(x+1)"-Cj,(x+1)叫…+(-1)'C：(x+l)7…+(-1)9；；乜乂如心

2、+…+站卅缶，则a°+a】+…+an-]+an=.答案14.(2008•山东理)(x-丄严展开式中的常数项为.答案-220•(用数字作答)5.(2008•福建理,13)若(x-2)

3、^asx'+aix^aix'+azx^+aix+aa,则al+a2+a3+ai+a5=答案31J♦—典例剖析一♦<>♦例1在二项式丘)"的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.解•••二项展开式的丽三项的系数分別是1，IlIA2•-=l+-n(n-1),28解得n二8或n二1(不合题懣，舍去),8-k•••Ti二C$x〒k33当4--keZ时，T/为有理项,4•••0WkW8且keZ,Ak=0,4,8符合要求.故冇理项冇3项，分别是35—x,8Vn=8,••-展开式中共9项,中间一•项即第5项的二项式系数最大.—x.8例2已知(1

4、-2x)7=ao+aix+a2x2+•••+a7Xz.求：(l)ai+a2+•••+a7;(2)ai+a：«+a5+a7；(3)a：?+a；(4)a(i+

5、a(

6、+1az

7、+•••+a；

8、•解令x二1,则ao+ai+aj+a3+a4+a5+a6+a7=-1令x二_1,贝ljaa_a【+a2_a3+a厂a：〉+a厂aW(1)e.ea(i=C7=1,Aai+a2+a3+---+a7=-2.⑵(①■②)十2,_1_37得內+a汁as+a-F二一1094.2⑶(①+②)4-2,_]+3?得ao+ahagF=1093・2(4)・・・(1-2x)7展开式中,a。,32,a„趣都

9、大于零,而a(,a3,a5,a,•都小于零，/•

10、ao

11、+

12、ai

13、+a2

14、+•••+]a-=(ao+a；、+a厂aj-(aj+a^+as+a-),・•・由⑵、(3)即可得其值为2187.例3(14分)(1)已知nWN：求证:1+2+22+23+-+25"'*能被31整除;(2)求0.998"的近似值,使误差小于0.001.(1)证明Vl+2+22+23+—+25rrIi-25n$=・=2"T=32_]1-2=(31+1)n-l=31n+C),•31nl+C；•3严+…+c；：T•31+1—1=31(31日+(^•3严+…+C；・1)显然括号内的数为止整数，故原式能被

15、31整除.(2)解V0.9986=(1-0.002)7分10分(0.002)+C

16、(0.002)2-C

17、(0.002)'+•••第三项T3=15X(0.002)2=0.00006<0.001,以后各项更小,A0.998~-0・012=0.988.14分知能迁移1•在(3x-2y)2。的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最人的项.解(1)二项式系数绘人的项是第11项,TU=C^3,0(-2),0x,0y,0=C^6,0x,0y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项,于是C%•320"r•2r>C201・319"r-2r+

18、1C$o・32(i・2「>C^'-32，~r・2一1化简得3(厂+1)22(20—门2(21-r)>3r所以r=8,即T尸C?o312・2s・x专是系数绝对值最大的项.(3)山于系数为正的项为奇数项，故可设第2r-l项系数最大，于是(2厂・2.22-2r4^24-2/*.4「2厂—2n22—2r°2厂—2、厂2卩o20—2r2r卜20c20-3・2化简得丿10r2+143r-l077<010r2+163r-924>0解之得r=5,BP2X5-1=9项系数最大.T9=C

19、o・312・28-x12/.2.求x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7展开式中各

20、项系数的和.解设x仃-x),+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7=a()+a.x+a：!X:+---+anXn在原式中,令x=l,则IX(1-1)4+12X(l+2)5+l3X(1-3)7=115,・・・展开式中各项系数的和为115.3.求证：3">(n+2)・2已(neN4,n>2).证明利用二项式定理3-(2+1)"展开证明.因为nGN*,且n>2,所以3"=(2+l)n展开后至少有4项.(2+1)"=2n+C・2n,+—+C；；_,・2+1^2n+n・X'+2n+l>2n+n・2叫(n+2)・2n故3n>(n+2)・2n_,.J♦—活页作业一一、填空