數值模擬的基本知識

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1、數值方法呂凌霄中央大學太空科學研究所2007Laser-PlasmaSummerSchool中研院原分所浦大邦講堂July16,20071大綱數值模擬運算與分析要用到的數值方法差分法與數值誤差的估算空間的微分與積分時間的積分認識電腦運算的極限疊代法與機器誤差估算亂數產生器求根內差與分散總結2差分法與數值誤差估算差分法：中央差分法、前差分法、後差分法中央差分法：一般空間的微分與積分前差分法：快速流問題後差分法：對時間的積分差分法的數值誤差估算：直覺的看法：微積分的定義進一步的探究：Taylorseriesexpansion3微積分的定義中央差分法後差分法前差分法4利用差分法求空間

2、微分常用差分符號的定義：Q:算算看各項係數和是多少？5求積分第一類型，比較簡單：求曲線下的面積，曲線函數為f(x)第二類型，比較難：traceacurveofagivenfieldf(x,y)以下將用第一類型的積分問題，說明如何估算數值誤差以及計算效率。第二類型的微分方程，為數值模擬中，最常遇到的問題形態。6差分法之準確度與誤差估算Taylorseriesexpansion（長條圖積分：一階準確）將yi+1對xi這點展開，可得下式，其中先將yi對xi+(1/2)這點展開，再將yi+1對xi+(1/2)這點展開，兩式結果相減，保留三項，其餘為餘數，可得（梯形法積分：二階準確）7差

3、分法之準確度與誤差估算Taylorseriesexpansion（The4thorderSimpson’srule積分法：四階準確）先將yi對xi+(1/2)這點展開，再將yi+1對xi+(1/2)這點展開，兩式結果相減，保留五項，其餘為餘數，可得將代入上式，得8計算效率評估考慮：長條圖積分（一階）與The4thorderSimpson’srule積分法每一個積分步驟：四階積分法比一階積分法多3倍欲達到準確度s：一階積分法比四階積分法多走s(-3/4)倍故一階積分法比四階積分法慢s(-3/4)/3倍Fors=0.01,s(-3/4)/3isabout10如果容許百分之一以下的誤

4、差，四階積分法比一階積分法快10倍Fors=0.0001,s(-3/4)/3isabout300如果只容許萬分之一以下的誤差，四階積分法比一階積分法快300倍計算效率評估：高階差分法遠高於低階差分法但是如果只算一次，用高階差分法運算，寫程式所用的時間，可能比運算所省下來的時間還多！9求積分（曲線下面積）Q:算算看各項係數和是多少？10非差分法之空間微分與積分計算法LifeismorethanthefinitedifferencesFFT（FastFourierTransform，fast:預先建立好轉換table）df(x)/dx=F-1{ikF[f(x)]}Int[f(x)]

5、=F-1{F[f(x)]/ik}適用於求週期性函數或數值模擬的微分與積分波動現象的微分與積分，FFT比起差分法，準確度高又有效率非週期函數用FFT求微分與積分時，可能產生巨大誤差。FastCubicSpline（fast:預先建立好反矩陣table）分段連續之三次多項式f(x)=Ax3+Bx2+Cx+D在連接點上，相鄰兩段區間之函數值、函數一次微分值、與函數二次微分值，均連續。適用於求週期性或非週期性函數的微分與積分準確度與三階差分法相似（高階差分法的微分見補充教材）11係數為tri-diagonalmatrix!12補充教材：微分之高階中央差分表示式假設微分結果可寫成鄰近網格

6、點處y值的線性組合。將{y-N～yN}相對x0這點做Taylorexpansion然後代入上式得比較y0(n)項的係數，忽略n>2N之高階餘數項，可得2N+1個{a-N～aN}之一階聯立方程式。求解{a-N～aN}，即得y0(s)之2N階中央差分表示式。13第二類型積分問題Traceacurveofagivenfieldf(x,y)y(t)對時間的積分y(x,t)對時間的積分其中y(x,t)對空間的偏微分，可由前述差分法、FFT、CubicSpline、或其他高階中央差分求得以下將以dy(t)/dt=f(t,y)為範例，進行討論14時間積分Solvey(t)fordy(t)/d

7、t=f(t,y)withagiveny0=y(t=0)Explicitscheme利用過去與現在的資訊，估算時間積分之值，以預測未來的結果。運算比較快、程式比較好寫，但是誤差會不斷地累積。Implicitscheme利用過去、現在、與未來的資訊，估算時間積分之值。其中未來的資訊，可藉由聯立方程式求解，或利用疊代法求解。運算費時、程式難寫，但是誤差不會累積。15TheexplicittimeintegrationsThe2ndorderRunge-KuttamethodThe1storderE