线性代数用正交变换法换二次型为标准型

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1、第三节　用正交变换法化二次型为标准形一正交矩阵及性质二正交变换三用正交变换法化二次型为标准形正交变换是一类特殊的线性变换，具有保向量长度不变、几何形状不变的性质，在几何空间中被广泛使用。则称C为正交矩阵。正交矩阵的性质：一、正交矩阵及性质正交矩阵：设矩阵C为n阶方阵，若满足③若矩阵C为n阶正交矩阵，则C*也是正交矩阵.①若矩阵C为n阶正交矩阵，则

2、C

3、=1；②若矩阵C为n阶正交矩阵，则C可逆，其逆C-1=CT④C是正交矩阵的充要条件是C的列（行）向量组是标准正交向量组（Page105,ch3-例27

4、）也是正交矩阵；注：正交变换是一个非退化的线性变换。⑤若A、B为正交矩阵，则它们的乘积矩阵AB也是正交矩阵．二、正交变换正交变换：设C为正交矩阵，X和Y是欧氏空间Rn中的n维向量，则线性变换X=CY是Rn上的正交变换．正交变换的性质：定理：设X=CY是欧氏空间Rn上的线性变换，则下列命题等价：①线性变换X=CY为正交变换；②在线性变换X=CY下，向量的内积不变，即：③线性变换X=CY把Rn中的标准正交基变成标准正交基.证明（循环证明过程）：因为X=CY为正交变换，故矩阵C为正交矩阵故当其内积设为Rn中

5、的一组标准正交基，经线性变换X=CY后得向量组由条件（2）可知，故也是Rn中一组标准正交基。由前面的定理可知，任一二次型均能通过一非退化的线性变换将其化为标准形。问题：任一二次型能否通过正交变换将其化为标准形？为Rn中的任一组标准正交基，设经线性变换X=CY后得向量组也是Rn中的一组标准正交基，且满足由于A、B均为正交矩阵，故C为正交矩阵，故线性变换X=CY为正交变换.三、用正交变换法化二次型为标准形注：正交变换不改变向量的内积，即不改变向量的长度，从而也不改变曲线或曲面的形状。上述问题的等价描述：对

6、于一实（Rn）对称矩阵A,能否注：上式表明用正交矩阵所得的矩阵合同即为矩阵的相似.列向量应该是A的n个线性无关且标准正交的特征向量。实对称矩阵的性质：定理：设A为n阶实对称矩阵，则有(1)A的特征值全是实数；找到一正交矩阵C,使得故标准形应该由矩阵的特征值决定，且正交矩阵C的(2)A的对应不同特征值的特征向量必正交.证明：(1)设向量，则两边右乘X,即又因上述两式相减，对上述等式先取转置，再取共轭，且有，故结论成立．为实对称阵A的特征值，X为对应的特征故：(2)设为实对称阵A的两个不同特征值，X1，X

7、2为对应的特征向量，则又因故结论成立.定理：对n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵C，使证明：（利用数学归纳法+标准正交向量组的性质）详见课本179-180证明过程。注：实对称阵一定有n个标准正交的特征向量。上述定理的等价描述：定理（主轴定理）：实二次型必可由正交变换化为标准形，即其中，为A的特征值.基于上述结果，可归纳正交变换法化二次型为标准形的过程如下：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1）二次型的矩阵为例1、求一个正交变换X=PY，把二次型,的特征值：求由A2)EA0=-l0)1)(3()1()

8、32()1(222=-+-=-+-=llllll得A的特征值3）当时，特征向量为对其单位化当时，特征向量为4）利用Schmidt正交化过程对上述向量正交化、单位化故正交矩阵且满足5）作正交变换X=CY,原二次型化为标准形例2、若二次型可通过正交变换X=CY化二次型为标准形求参数及所作的正交变换.解：二次型的矩阵又因标准形为故A的特征值为利用性质：所以A的特征值为两两相互正交，单位化得令正交矩阵C当的基础解系时，当的基础解系时，当的基础解系时，则正交变换为X=CY