维纳滤波与卡尔曼滤波

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1、第二章维纳滤波与卡尔曼滤波2.1引言本章内容是解决噪声中提取信号的问题。而维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)方法。信号的恢复及信号的判决是两个概念。而信号恢复（估计）的准确性判断准则也不一样。如：误差的代数和最小；误差的绝对值和最小；误差的平方和最小等。（见实例）1共128页2共128页Wiener&KalmanFilter设计（即获得系统的单位冲激相应）的准则：（条件）满足最小均方误差（正交性原理）为准则的，即保证：好处：运算简单，对过大噪声敏感，小噪声不敏感；符合实际工程需要因此维纳过滤与卡

2、尔曼过滤又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。3共128页输入信号及滤波器输出模型输入信号：输出信号：4共128页维纳滤波器的输入—输出关系实质是设计系统(传递)函数或单位冲激响应5共128页2.2维纳滤波器的离散形式(I)——时域解h(n)=0当n<0，因果系统6共128页7共128页8共128页用几何图形理解正交性原理9共128页上式展开有：10共128页11共128页因此维纳滤波器的设计问题，归结为求解wiener-Hopf方程12共128页解Wiener-Hopf方程存在的问题及解决的思路存在的问题：1。假设设计的是因果系统，由于存在k>0的约束条件，卷

3、积定理（双边Z变换）不能用。2。实际物理系统为因果系统。解决思路：1。设计一个非因果性系统（滤波器）。2。用有限长的因果序列h(n)来逼近hopt(n).实质为设计FIR型滤波器。13共128页14共128页15共128页16共128页17共128页18共128页结论1.维纳滤波器的设计实质为求解Weiner-Hopf方程。2。非因果系统设计简单3。最小方差准则的维纳滤波器，用有限冲激响应的FIR滤波器来实现，计算复杂，工作量大，并不是有效的办法。19共128页例题1：20共128页2.3维纳滤波器的z域解求解的基本思想：把x(n)加以白化来求维纳-霍夫方程的z域解.(这

4、种方法是由波德(Bode)和香农(Shannon)首先提出的)白化：任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声激励一物理网络所形成。21共128页22共128页图2.3s(n)的信号模型图2.4x(n)的信号模型图2.5信号模型23共128页B(z)是由单位圆内的零极点组成，B(1/z)是由对应的单位圆外的零极点组成。因此：B（Z）是一个因果(或物理可实现)的并且是最小相移的网络24共128页25共128页用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程26共128页于是，求在最小均方误差下的最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问题了。我们可以对G(z)加

5、以因果性或非因果性的约束具体求解。由于G(z)的激励源是将x(n)白化后得到的白噪声，这就使得求图2.7(b)中的最佳G(z)比求图2.7(a)中的最佳H(z)容易，（为什么白化的原因）得：27共128页2.3.1没有物理可实现性约束的(非因果的)维纳滤波器）28共128页29共128页30共128页31共128页32共128页33共128页34共128页35共128页物理意义及其解释36共128页图2.8决定于与特性的例子37共128页最小均方差求解38共128页39共128页40共128页最小均方误差不仅与输入信号的功率有关（反），而且与信号和噪声的功率谱的乘积有关（

6、正）。41共128页2.3.2有物理可实现性约束的(因果的)维纳滤波器42共128页43共128页44共128页[例1]设已知，以及(白噪声)其中s(n)代表所希望得到的信号，代表加性白噪声。求物理可实现与物理不可实现这二种情况下的及。45共128页[解]因为所以又因为46共128页其中B(z)由单位圆内的零极点组成，B(z^-1)由单位圆外的零极点组成，上两式比较得(1)物理可实现情况47共128页因为对于项。所以48共128页利用式(2.52)并考虑到，得49共128页取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内的积点的留数之和，即50共128页而在经过此滤波器以前的均方误差

7、为所以通过维纳滤波器后均方误差下降8/3(≈2.7)倍。51共128页(2)非物理可实现的情况52共128页取单位圆为积分围线C。在单位圆内有二个极点：53共128页。H式等于该二个极点的留数，因此前面求得物理可实现的所以在此例中非物理可实现情况的均方误差略小于(即稍好于)物理可实现的情况。可以证明，物理可实现情况的最小均方误差总不会小于非物理可实现的情况。54共128页2.4维纳预测器2.4.1预测的可能性55共128页56共128页2.4.2预测器的计算公式维纳预测器57共128页58共128页59共128页(1)没有物理