浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用

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1、浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用黄柏中学    付昌洪新课程对我们数学教师提出了更高的要求，在数学教学过程中，我们不仅要组织学生探索知识，更应该引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想。新的义务教育数学课程标准明确指出:“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”数学思想贯穿于整个数学教学中,在教学活动中“分类讨论数学思想”将是依据数学对象本质属性的异同,选取适当的标准不重复不遗漏地将其分为若干类,然后逐类进行讨论来解决问题的一种数学思想方法,它是数学发现的重要手

2、段,它是解决数学问题的一种重要思想方法。它体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法。它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思想条理性和概括性，所以在中考试题中占有重要的位置。解分类讨论问题的实质：将整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后增加了题设的条件，从而将问题解答等进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。一、根据图形的特征或相互间的关系进行分类如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与

3、圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。绝对值的分类，三角形边长的分类，函数的分类……二、 渗透分类思想，养成分类的意识　　每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。　　认识数a可表示任意数后，让学生对数a进行分类，得出正数、零、负数三类。　　讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：　　通过对正数、

4、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。　　又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。　　结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，

5、还要注意分清层次，不越级讨论。　三、引导分类讨论，提高合理解题的能力　　初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图

6、形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。下面就举几个例题：例1.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。　　解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。　　如图1，当△ABC的高在形内时，由，得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。　　　　如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。　　　　由，得△ABD∽△CAD　　所以∠B＝∠CAD＝25°　　∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°

7、＋90°＝115°例3、（2009年贵阳）　已知直角三角形两条边长为3和4，则第三边长为——————简解：分类讨论：当4为直角边时，则另外一直角边为3。则第三边长为5。当4为斜边时，则另一直角边为3，那么第三边长为根号7例4、（2009年牡丹江）已知三个不相等的正整数的平均数，中位数都是3，则这三个数分别是——————答案是1，3，5。和2，3，4。例5、（2009年黑龙江）已知两圆的半径分别是5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两圆的圆心距为——————分析：由圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆心之间，也可以在两圆心同旁。答案：4+根号

8、7和4-根号7例6、已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解