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1、泰勒公式及其它的应用卡米力江•玉素甫江（伊犁师范为院数学系新疆伊犁835000）摘要：泰勒公式在数学分析和研究数学问题中有着重要作用，本文主要采用举例分析的方法介绍了泰勒公式在求极限，近似值，导数。证明定积分，不等式，判断级数收敛性和行列式，求高阶导数在某点的数值方而的应用。关键词：泰勒公式，极限，行列式,高阶导数，不等式，定积分。中图分类号：0173引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。18世纪早期英国牛顿学派最
2、优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（BrookTaylor）,T*1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。1717年。他以泰勒定理求解数值方程。泰勒的主要着是1715年岀版的“正的和反的增量方法”，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内V为独立变量的增量，及为流数。他假定Z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里一牛顿插值公式发展而成的，当x=0时便称作马克劳林定理。1772年
3、，拉格朗H强调了此公式Z重要性，而且称Z为策分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，I大I而使证明不严谨，这工作宜至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展开成幕级数；同时亦使泰勒成了冇限差分理论奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物品问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基木频率公式，开创了弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上Z其他创造性工作，如论述常策分方程的奇异解，曲率问题Z研究等。泰勒公式1.泰勒公式已知一个函数，如何把它
4、表示成我们所需要的多项式呢？先考虑多项式函数y=/(X)=a()+°］兀+°2兀2+.・.+°岸它具有任意阶连续导数，且当k>n吋，y{k)=0.经过简单的计算可知.这个多项式的系数兔，4，勺，…，匕同它的各阶导数之间有如下的关系；。（）=/（0），4=/（0）,°2=，如果把这个多项式按照(x-d)的幕式重新写出来，即y=f(x)=bQ+b^x-a)+b2(x-a)2+...+仇(兀-d)",则系数同/(x)的各阶导数之间的关系经过计算易知为咕畑咕讪化二学厶二譽•也=1^22!3!n■再考虑y=f(x)是一般的函数.设它在
5、a点具有直到n阶的连续导数，这吋总可以作出如下的多项式如果已给函数/(兀)是n次多项式，那末由上面的讨论，几⑴与/(兀)完全相同，因而对/(%)的研究可以用对代(兀)的研究来代替.什(兀)是用/(兀)及其各阶导数在x=a点的数值来表示/(X)的另一个多项式，称其为多项式.f(x)的泰勒公式.2.泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间(a,b)冇直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：f（兀）=/Uo）+/，（^oX无一兀0）+/（兀一）2+''J（x-x0）3+……+了（x-
6、兀°）"+心（兀）其中心=.广刊©(—心)冋)这里纟在兀和勺之间，该余项称为拉格朗日型的余项。(72+1)!证明：我们知道.f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+a(根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limAx—>0f(x0+Ax)-/(x0)=/(x0)/lr),其中误差。是limAxT0即limAx—>x0的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需耍一个能够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=Aq+£(x-x0)+A2(x-x0)2++A”(兀-兀0)"来近似地表示函数/(兀)且要写出其
7、误差/(x)-P(x)的具体表达式。设函数PCX)满足^Uo)=f(xQlPXxQ)=f'(xQP(x0)=f(xQ)^P{nxQ)=/(n)(x0),于是可以依次求出4),£,企,.・・,4”，显然，Pg)=4),所以4)=/O());P‘Cr())=4］,A
8、=/'(兀());P(Xo)=2!%,A,二匸血...,严(勺)》!&,观=以血。至此，多项的各项系数多已求出，2!nP(x)二/(兀())+•厂Go)(兀一兀())+'［："(X-兀0)2+……+广,))(X7。)"得：2!n泰勒定理若函数/满足如下条件：(
9、1)在闭区间［Q,b］上函数/(切存在直到斤阶连续导数，(2)在开区间⑺上)内存在的/⑴的斤+1阶导数，取x0G［a,b］,则对任何xe［a,b］,且兀工心，至少存在一点§w(Q,b),使得式(1)/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^^(x-x0)2+.....+
