千题百炼——高中数学100个热点问题(三)第74炼利用几

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1、第74炼利用几何关系求解最值问题一、基础知识：1、利用儿何关系求最值的一般思路：（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三介形，从而由三和形性质可知两边之和人于第三边，两边之差小于第三边,无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位査关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用儿何关系进行线段转移，将其小某些

2、线段用其：它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动吋最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（详见例1）（2）在圆屮，可利用与半径相关的肓饬三饬形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。（4）在椭関中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线屮

3、，利用两条焦半径的茅为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双Illi线的哪一支上）3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆C及圆外一定点P,设圆C的半径为厂则圆上点到P点距离的最小值为

4、PM

5、=

6、PC

7、—厂，最大值为

8、P7V

9、=

10、PC

11、+r（即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点（2）已知圜C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径,最短的为与该肓径垂肓的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB=2ylr2-d2,若

12、AB

13、最小，则d要収最大，在圆中CP为定值，在弦绕P旋转的过程中，d

14、

15、PM

16、=dc_t-r,距离的最大值为PN=dc_t+r(过圆心C作/的垂线，垂足为P,CP与圆C交于M,其反向延长线交圆C于7V(4)己知圆C和I员1外的一条直线/,则过直线/上的点作関的切线，切线长的最小值为PM解：

17、PM

18、=』卯",则若最小，则只需

19、CP

20、最小即可,所以P点为过C作/垂线的垂足时，

21、CP

22、最小・••过P作圆的切线,则切线长

23、PM

24、最短4、与圆锥曲线相关的最值关系:(1)椭圆:=1（°〉b>0）①焦半径：焦半径的最大值为d+C,最

25、小值为Q-c②焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为竺，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直a22(2)双曲线：设双IW线方程为^-^=l(a>09b>0)ab~①焦半径：焦半径的最小值为d-c,无最大值2bX设椭圆方程为1a②焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为一，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直a(3)抛物线：设抛物线方程为y2=lpx①焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即上2②焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂肓时，弦长最小，为2p二、典型例题：例1：已知在平面直角坐标系中，点4(-1,1),3(3,4),P为x

26、轴上一动点，则

27、PA

28、+

29、PB的最小值为A*-b•f1/f1<4LX思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边(而三点共线时可能相等)，由已知可得：AB=5，但从图像上发现无论P在何处，

30、PA

31、+

32、PB

33、>

34、AB

35、,无法取到等号。(即使共线时等号也不成立)，为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作A关于兀轴的对称点人，从而有AP=AP，所以

36、PA

37、+

38、PB

39、转化为PA+

40、PB可知当A,P,B三点共线时，+训=阿，即(

41、PA

42、+

43、PB

44、)in.n=741答案：V41小炼有话说:(1)三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间

45、时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。(2)处理线段和(差)最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件例2：设抛物线y2=4x±.一点P到此抛物线准线的距离为％,到直线/:3x+4y+12=0的距离为d2,则％+d2的最小值为()A.3B.—C.—D.455思路：通过作图可观察到直接求d}+d2的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得％为P到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为PF3・1+12

46、=3(其中F是

47、抛物线的焦点,F(1,O))所以％+心=『尸

48、+〃2,观察图像可得:答案：A例3：己知过抛物线)，=4兀的焦点F的弦与抛物线交于两点，过