3 极大值原理

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1、第三章极大值原理（MaximumPrinciple）前面介绍的变分法属于经典变分学的内容。经典变分学只能解决容许控制属于开集的一类最优控制问题，而且对轨线x(t)、函数L、f均有连续可微要求。实际工程应用问题中，这些要求一般无法得到满足。为解决容许控制属于闭集的一类最优控制问题，前苏联数学家庞特里亚金（俄文ЛОНТЛЯТИН，英文Pontryagin）受力学中Hamilton原理启发，于1958年提出极大值原理并加以证明。极大值原理将经典变分学推进到现代变分学，成为现代控制理论的重要基石。极大值原理（MaximumPrincip

2、le），或称最大值原理，也有称为极小值原理或最小值原理（MinimumPrinciple）。极大值原理的证明在数学上非常严格，本课程只从工程应用需要的理解程度出发对其进行简单推导。3.1泛函极值的充分条件几个有关定义正常场定义3-1：若（t，x）平面某一区域D上每一点都有曲线族中一条且仅有一条通过，则称曲线族在区域D上形成一个正常场。曲线族上点（t，x）处的切线的角系数称为场在点（t，x）的斜率。中心场定义3-2：若区域D上曲线族的全部曲线都通过一点（t，x），即00它们形成曲线束，且束心也属于D，同时除束心外，曲线在D内不再相交，

3、曲线布满区域D，则该场为中心场。极值曲线场定义3-3：若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形成，则称之为极值曲线场。维尔斯特拉斯E函数（WeierstrassErdmannFunction）设有泛函tfJ(x)L[x(t),x(t),t]dtt0若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证明泛函增量可表示为tfJ(x)E[x(t),x(t),p(x,t),t]dtt0其中E[x,x,p,t]L[x,x,t]L[x,p,t][xp]L[x,p,t]p称为维尔斯特拉斯E函数。泛函J在曲

4、线上达到极值的充分条件设泛函J在曲线c上达到极值，可分为弱极值和强极值两种情况，其充分条件分别为：对于弱极值，①曲线c应是满足极值条件的极值曲线；②极值曲线c能够被包含在极值曲线场中；③对于c近旁所有点(x,t)以及近于p(x,t)的值，函数xE(x,x,p,t)不变号，极小值时E≥0，极大值时E≤0。对于强极值，①曲线c应是满足极值条件的极值曲线；②极值曲线c能够被包含在极值曲线场中；③对于c近旁所有点(x,t)以及任意的值，函数xE(x,x,p,t)不变号，极小值时E≥0，极大值时E≤0。3.2连续系统极大值原理考虑系

5、统状态方程x(t)f[x(t),u(t),t]（3-2-1）nm其中，x(t)R,u(t)R，m≤n初始状态x(t0)x0（3-2-2）终态满足[x(tf),tf]0（3-2-3）r其中，R，r≤n。u(t)属于有界闭集Ω，受不等式g[x(t),u(t),t]≥0（3-2-4）约束，g为p维连续可微函数，p≤m。*求最优控制u(t)，满足上列条件，并使性能指标tfJ(u)[x(t),t]L[x(t),u(t),t)]dt（3-2-5）fft0达到极小值。u(t)有界并受不等式约束，与前面讨论的问题不同。u(t

6、)有界一般可以考虑为是分段连续函数，对不等式约束则要设法转化为等式约束处理。引进新变量Z(t)和w(t)，取2（3-2-6）[Z(t)]g[x(t),u(t),t],Z(t)00（3-2-7）w(t)u(t),w(t)00Z2g•取可以保证g非负；而由u(t)的分段连续性，有w(t)的分段连续性，则进一步有w(t)分段光滑连续。因此，可以采用Lagrange乘子法进行求解。•分别取Lagrange乘子n，r，，构造p广义性能指标RRRTJ(u)[x(t),t](t)[x(t),t]afffftf{

7、L(x,w,t)T[f(x,w,t)x]T[g(x,w,t)Z2]}dt（3-2-8）t0T定义H(x,,w,t)L(x,w,t)f(x,w,t)（3-2-9）TT2F(x,x,w,Z,,,t)H(x,,w,t)x[g(x,w,t)Z]（3-2-10）则有tfTJ(u)[x(t),t](t)[x(t),t]F(x,x,w,Z,,,t)dtafffft0（3-2-11）求其一阶变分有JaJtfJxJwJZ（3-2-12）其中TT

8、tftfJ{Fdt}t{F}ttfttfftfftfttfff（3-2-13）TTtfTFTFJx{}{xx}dtx