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《刚体定点转动的欧拉定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、冈体定点转动的欧拉定理清华大学毛文炜摘要刚体定点转动是一个著名的力学问题。0八土1).2/,元在!∀#∃%&∋()所著的《经典力学》一书中上式说明粤是矩阵#的特征值,所以有一段内容利用拒阵论和代数方程论论述了这个∗日,本文在同一数学框架中问题的欧拉定理34一+。5李.6/,讨论这个问题而比文献++,的论述显得简要−兄另外,还严格证明了描述刚体定点转动的转动一−7式7一对李卜8.一+4.变换/拒阵的复特征值之幅角就是欧拉定理中的旋转角中一几+一3一,。一戈为讨论简明起见取一右手直角坐标系声固95.:/,,
2、“”此结果说明3定在刚体七不动巨将坐标系原点就取在定点上+众也是矩阵的特征值Χ,0,当刚体绕过定点的某些轴作有限次转动后到;述论证说明<如果又是3矩阵的特征值则∗欢,。一1达了新的方位则固定于其上的坐标系声也随之也是3矩阵的特征值到达了新的方位,如果我们只考虑刚体定点转动的结,一=、,一果而不涉及它的过程,则其结果完全可用新、老方位令赴牛并代人.>/式可得流的坐标系之间的转换关系去描述既然是刚体,当然一9又+.?/在转动过程中其内部结构不会发生变化,自然转到新再看看属于特征值为+的特征向量≅∗的物理意方位的直角
3、坐标系仍然是右手系‘<义众所周知,从老右手坐标系变换到新右手坐标系因为,火的变换可用一个>>的实正交变换矩阵3来描述3≅Α9兄一≅Α且其行列式之值为+,即9≅Α.+5/83Κ9+.+/,这个变换矩阵3就完全描述了刚体定点转动的结果而矩阵3描述的是刚体最终转动效果.+5/式表明向量1∗在刚体最终转动结果中不变,这也就是说刚体定现在证明3矩阵至少有一个实特征值为+<设3点转动的结果可由刚体以向量1,为轴旋转某一角度甲矩阵的特征值为,兄则久期方程而得到这就是欧拉定理的内容83一又++95.Β/,是∗是单位矩阵,既然
4、久期方程.Β/有一个根为+则一定可将其分一个又的>次方程这里由代数方程论知,在复数域中必有三个根Κ∗、七、幻满足方程解成.之一+/.Χ元ΒΔΕ兄ΔΦ/9∀..,川Β/、、<ΧΦ,··为进一步确定8式中的系数Ε我们将久且从赴幻钊3期方程.Β/展开设。二+.>/,、Ι设≅Λ是矩阵3的特征向量即了、Η断Χ∗Ι∗ΧΒΧ∗ϑΧ>Β助Χ∗>%>ΓΗ、,八义。二送。.Μ/.+Β/因为3矩阵是正交矩阵,所以一定有逆矩阵一+3存在.Μ/式两边同乘一∗,3即得则.Β/式为Χ73一1。一1。一元口+Β口+>.Ν/<一专ΧΒ∗%
5、∗处Β处>.+>/,一’二,又因3炬阵是正交矩阵所以3#故口>ΒΧ>>一又弦的三维波动方程与横波条件江西师大缪静琪蚌埠坦克学院刘蔚以小1摘要本文证明了横波条件是振动为前提在推导与轴重合的弦.平衡时的线密度,“,。,的从而纠正了可舍去小振动条件单纯假为Ο张力为45/的,Π磺振动方程设纵振动不存在即可导出横振动方程刁派刁气ϑΘ,二二<二,人−<,‘<,刁护一兀信幸.+/刁ΒΘ二刁习。本Ο。7石不犷卫。Ρ叨少,1,‘一下万凡有次抬巧吓廷一二时取振动时的张力4.Λ为常数45Σ灯,,,,,1&9明了在小振动假设下对横振动4
6、.1&/9兀4./45.Β/,,所以横振动方程总是成立的二本文还导出了弦为了证明.Β/式假设不存在纵振动于是川一的一三维非线性波动方程,并证明弦的三维小振.下式称为横波条件/,∀%Λ9>/动具有线性叠加性且三个方向的振动是互相4Φ兀.,,独立的这里口是振动时弦与1轴的夹角它是1及&的函数.>/式结合刁娠动条件将又的幂次合并可得,这样,3矩阵的另外两个特征值.即久期方程.Β/上式展开按又>一又Β.Χ一∗Δ助Δ内>/的另外两个根/7一定满足方程一又.ΧϑΡΧ∗ϑΔ处>ΒΔ+>Χ%∗Δ一&Ρ3Δ一Χ>乒矛ς+./,元
7、+。.+:/,一Χ∗∗一口ΒΒΧ>>一Χ∗∗Χ>>/根据文献【+,的理由有ΧΒ&Ρ9Δ∀%沪.+?/一+二5.+Μ/.3/+ϑΦ这里利用了.+/式,即Τ3Α于+代入.+:/式得一十然后将.++/式展开按只的幂次合并可得矛ϑΦ∀%杯卜5.Β5/ΧΔ.Ε一Χ/尸Δ.。一Ε/又一。95解之得护.+Ν/之9∋,,.Β∗/.+Ν/式与.+Μ/式比较可得“一此结果说明3矩阵的复特征值之幅角即为欧拉定理中#ΤΥ万一8的旋转角,‘&/9∗一炙口++Δ口ΒΒΔ口>>/.+2/现在讨论.Β+/式的两个特殊情况即复特征值退9一&<+.
8、3/化为实特,ΩΒ冗,征值的情况此时在∀.价的范围内当Ρ其卜·+势9Λ>‘Ρ3/一“Β9>9..+6/只只+万尸即若3矩阵的三个特征值皆为+时,刚体定点转动的3的迹是矩阵最终结果是恢俊到原方位相当于不动顺便指出,.+Μ/式与.+Ν/式比较可得Β·价二兀Ρ&.−/一“,‘“,,Δ处,处,ΔΧ‘,ΚΚΚΚΚ父Β二久>二一+∗处+ΧΒΒ88Χ>
