2020版高考数学大一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第5讲数学归纳法分层演练理（含解析）新人教A版

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1、第5讲数学归纳法1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)A．7　　　　　　　　　　B．8C．9D．10解析：选B.1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少应取8.2．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：选A.f(k＋1)＝12＋22

2、＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.3．当n为正奇数时，求证xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1时命题为真，进而需验证n＝______________，命题为真．解析：当n为正奇数时，求证xn＋yn被x＋y整除，用数学归纳法证明时，第二步假设n＝2k－1时命题为真，进而需要验证n＝2k＋1时命题为真．答案：2k＋14．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝___

3、_____；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．解析：f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＞4)．答案：5　(n＋1)(n－2)5．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5

4、·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．这就是说当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．6．设实数c>0,整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.证明：用数学归纳法证明．①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，

5、k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．7．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．解：(1)由P1

6、的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.所以b2＝＝，a2＝a1·b2＝.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2x＋y＝1.(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)＝＝＝1，所以当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn都在直线l上．1．已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：0

7、，求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：①当n＝1时，x1＝∈(0，1)，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即xk∈(0，1)，则当n＝k＋1时，xk＋1＝，因为xk∈(0，1)，所以2－xk>0，即xk＋1>0.又因为xk＋1－1＝<0，所以0

8、所以an＝2n－1＋1.2．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…分别计算各组包含的正整数的和如下：S1＝1，S2＝2