选修4-1几何证明选讲（理）

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1、选修④系列选修4－1几何证明选讲(理)课堂讲义部课下作业部分备考方向定位考点层析冲关内容要求考情分析ABC分析近几年高考题目，可以发现本讲高考命题有以下特点：1．从内容上看，与圆有关的切线、割线以及三角形问题是高考的热点问题．2．从命题形式看，以基础题目为主，难度不大，主要考查推理论证能力.相似三角形的判定和性质定理√射影定理√圆的切线的判定与性质定理√圆周角定理、弦切角定理√相交弦定理、割线定理、切割线定理√圆内接四边形的判定与性质定理√[常考题型汇总][例1](2011·陕西高考)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求BE的长．[例2]

2、(2011·淮安模拟)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.[解]证明：(1)在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD又∠BAE＝∠EDC，∵BD∥MN，∴∠EDC＝∠DCN.∵直线是圆的切线，∴∠DCN＝∠CAD.∴∠BAE＝∠CAD.∴△ABE≌△ACD.(角、边、角)[冲关智囊必备]知识溯源1．相似三角形的判定：(1)两内角对应相等的两个三角形相似;(2)三边对应成比例的两个三角形相似;(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．相

3、似三角形的性质：(1)相似三角形的对应边成比例，对应角相等．(2)相似三角形对应边的比、对应中线的比、对应高的比以及对应周长的比均与相似比相等．(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方．方法技巧证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应相等；若只找到一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若找不到角对应相等，就要证明三边对应成比例．易误提醒在利用相似三角形的性质解决问题时，一定要找准对应角和对应边．[解](1)BE平分∠ABC；证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.∴∠ACB＝∠CAD＋∠ADC＝2∠CAD.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD.∵∠CAD

4、＝∠EBC，∴∠ABC＝2∠EBC.∴BE平分∠ABC.(2)连接EC，由(1)BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点．∴AE＝EC＝6.又∠EBC＝∠CAD＝∠ADC，∴ED＝BE＝8.[常考题型汇总][例7](2011·盐城模拟)在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.[证明]作PE⊥AB于E，∵AB为直径，∴∠ANB＝∠AMB＝90°∴P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．AE·AB＝AP·AN，①BE·AB＝BP·BM，②①＋②得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM.即AP·AN＋BP·BM＝AB2.[例8]

5、(2011·宿迁模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：(1)∠AED＝∠AFD；(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.[证明](1)连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，则A、D、E、F四点共圆．∴∠DEA＝∠DFA.[冲关智囊必备]知识溯源1．相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等．2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．3．切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．方法

6、技巧与圆有关的比例线段关系，主要是指圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等，其定理的证明大多来自于相似三角形的性质．因此，在解题过程中善于发现、构造相似三角形是解题的关键．点击此图进入课下作业部分