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1、教学目标：掌握线性变换的矩阵的定义与性质6.3线性变换的矩阵教学难点：线性变换矩阵的性质授课题目：6.1线性变换的矩阵授课时数：4学时教学重点：线性变换矩阵的定义一.线性变换的矩阵表示1)V的任一线性变换σ，由它在基{α1，α2，…，αn}上的作用惟一确定，即如果σ(αi)＝τ(αi)(τ∈L(V),i=1,2,…,n),则σ=τ;定理6.3.1设V是数域F上的一个n维线性空间，{α1，α2，…，αn}是V的一个基．1.线性变换对基的作用的重要性证 只须证2）．设ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn是V的任意向量，规定V的一个变换σ:σ(ξ)=x1β1+x2β2,…,xnβn.这时
2、，有σ(αi)=βi,i=1,2,…,n.以下我们证明σ是V的线性变换．2)任给β1，β2，…，βn∈V，必存在V的惟一线性变换σ，使σ(αi)=βi(i=1,2,…,n).设η=y1α1+y2α2+…+ynαn∈V,ξ+η=(x1+y1)α1+(x2+y2)α2+…+(xn+yn)αn.于是σ(ξ+η)=(x1+y1)β1+(x2+y2)β2+…+(xn+yn)βn=(x1β1+x2β2+…+xnβn)+(y1β1+y2β2+…+ynβn)=σ(ξ)+σ(η),σ(kξ)=kx1β1+kx2β2+…+kxnβn=kσ(ξ).所以，σ是V的满足定理所要求的条件和的线性变换．如果τ∈
3、L(V),且τ(αi)=βi,i=1,2,…,n,ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn∈V,则τ(ξ)=x1τ(α1)+x2τ(α2)+…+xnτ(αn)=x1β1+x2β2+…+xnβn=σ(ξ).所以，σ＝τ．定义1设{α1，α2，…，αn}是数域F上的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)．基向量的象可由基线性表示：2.线性变换矩阵的定义我们把（1）写成矩阵等式的形式(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)A(2)其中矩阵A称为线性变换σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩阵．例1求F3[x]的线性变换σ：σ(f(x))=2f(x)-f′(x)在基{1
4、,x,x2,x3}下的矩阵．解 因为σ(1)=2=2+0x+0x2+0x3,σ(x)=2x-1=-1+2x+0x2+0x3σ(x2)=2x2-2x=0-2x+2x2+0x3σ(x3)=2x3-3x2=0+0x-3x2+2x3,所以σ在基{1,x,x2,x3}下的矩阵是3.几个例子采用矩阵形式的写法为(σ(1),σ(x),σ(x2),σ(x3))=(1,x,x2,x3)A例2求M2(F)的线性变换σ：σ(X)=解 因为σ(E11)=aE11+0E12+cE21+0E22,σ(E12)=0E11+aE12+0E21+cE22,σ(E21)=bE11+0E12+dE21+0E22,σ(E
5、22)=0E11+bE12+0E21+dE22,在基｛E11,E12,E21,E22｝下的矩阵．故σ在基｛E11,E12,E21,E22｝下的矩阵是例3设σ是F3的一个线性变换，ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0），ε3＝（0，0，1），σ(ε1)＝（2，-1，3），σ(ε2)＝（-1，0，4），σ(ε3)＝（0，-5，5）．求σ在标准基｛ε1，ε2，ε3｝下的矩阵．解 由于σ(ε1)=2ε1-ε2+3ε3,σ(ε2)=-ε1+0ε2+4ε3,σ(ε3)=0ε1-5ε2+5ε3,有 （σ(ε1)，σ(ε2)，σ(ε3)）＝（ε1，ε2，ε3）即σ在基{ε1，ε2，ε3}下的矩
6、阵是一般地，Fn的一个线性变换σ在标准基{ε1，ε2，…，εn}下的矩阵A就是把σ(εi)的分量作列排成的n阶方阵.例4单位变换ι在任何基下的矩阵都是单位矩阵I．数乘变换kι在任何基下的矩阵都是数量矩阵kI．在V中取定一个基后，通过（2）式，我们在L(V)与Mn(F)之间建立了一个映射Φ，它把每个σ∈L(V)映成σ在该基下的矩阵A∈Mn(F)．Φ：σA定理6.3.1的2）说明Φ是双射．这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘和乘法运算．二.L(V)与Mn(F)之间的密切关系1.Φ的性质定理6.3.2L(V)到Mn(F)的上述映射Φ具有以下性质：1)对任意的σ，τ∈L(V)，有Φ（σ
7、+τ）＝Φ（σ）+Φ（τ）；2)对任意的σ∈L(V),k∈F,有Φ(kσ)=kΦ(σ);3）对任意的σ，τ∈L(V)，，有Φ（στ）＝Φ（σ）Φ（τ）；4)若σ∈L(V)，σ可逆，则Φ（σ）＝A是可逆矩阵，且Φ（σ-1）＝A-1．反之，若A可逆，则σ也可逆．证 令Φ(σ)=A=(aij)nn，Φ(τ)=B=(bij)nn,即(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)A,(τ(α1),τ(α2)),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)B.
