13用公式 简解几道高考题

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1、用公式简解几道高考题由不同两点确定的直线方程的两点式为即①当时(一定有)，直线的方程是；当时(一定有)，直线的方程是.而这两种情形均可由①得到,所以由两点确定的直线方程就是①，也即②由此还可证得定理1设是不同的两点，则(1)坐标原点到直线的距离是；(2)的面积是.这里再给出定理1(2)的一种证法(由定理1(2)及立得定理1(1)).另证下面用定理1(2)简解几道高考题.高考题1(2009·陕西·文理·21)已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为.(I)求双曲线的方程；(II)如图1，是双曲线上一点，两点在双曲线的两

2、条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若，求面积的取值范围.图1解(I)(过程略).(II)可设，由定理1(2)及题设得.由定比分点坐标公式，得，把它代入双曲线的方程，化简得，所以可得面积的取值范围是.高考题2(2007·陕西·理·21(即文·22))已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点与右焦点的距离是.(I)求椭圆的方程；(II)设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.解(I)(过程略).(II)设，由定理1(2)及题设得由椭圆的参数方程知，可设，得从而可得，当且仅当点是椭圆的两个顶点且时的面积取到最大值

3、，且最大值是.注参考答案对第(II)问的解答是常规的但运算量很大：当直线的斜率不存在时，可得

4、AB

5、=；当直线的斜率存在时，可设，…….所以，得面积的最大值是.还可得到上面这道高考题的一般情形：定理2设直线与长半轴长、短半轴长分别是的椭圆交于不同的两点，椭圆的中心与直线的距离为常数，则面积的最大值是.证明可设椭圆，其中心是坐标原点，又设，由定理1(2)及题设得由椭圆的参数方程知，可设，得从而可得，的面积的最大值是.注若将定理2中的“常数”两字去掉，所得结论也成立.高考题3(2008·海南、宁夏·理·21)设函数，曲线在点处的

6、切线方程为．(I)求的解析式.(II)证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(III)证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．(答案：(I)；(III)2.)高考题4(2008·海南、宁夏·文·21)设函数，曲线在点处的切线方程为．(I)求的解析式；(II)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(答案：(I)；(II)6.)下面给出这两道高考题结论的推广.先介绍笔者主持的《中学数学》(高中)“新题征展”栏目刊登的一道题(供题人：陈祥)：新题

7、(1)求到两条相交定直线的距离之积等于正常数的点的轨迹；(2)证明：曲线是以直线为渐近线的双曲线；(3)函数的图象是以直线为渐近线的双曲线.解(1)以相交定直线的夹角平分线为坐标轴，如图2建立直角坐标系，可设的方程分别是，动点到的距离之积为图2③所以所求的轨迹是以两条相交定直线为渐近线的两条双曲线.注由线性规划知识还可得：当的值使的值同号时，方程③表示焦点在轴上的双曲线；当的值使的值异号时，方程③表示焦点在轴上的双曲线.(2)得，所以由结论(1)知，它表示以两条相交定直线为渐近线的两条双曲线.又由题设中的等式知：当时，的值使

8、的值同号；当时，的值使的值异号.所以，欲证成立.(3)函数的图象即曲线，所以由结论(2)得结论(3)成立.定理3(1)双曲线上任一点的切线与两条渐近线围成三角形的面积是；(2)双曲线上任一点的切线与两条渐近线围成三角形的面积是；(3)双曲线上任一点的切线与两条渐近线围成三角形的面积是.证明(1)如图3，可求得过双曲线上任一点的切线方程是，还可求得它与两条渐近线的交点分别为，再由定理1(2)可立得欲证成立.图3(2)由，得.所以过双曲线上任一点的切线方程是从而可求得它与两条渐近线的交点分别为，再由定理1(2)可立得欲证成立.(

9、3)因为，所以双曲线是由双曲线沿向量平移后得到的，所以由结论(2)立得结论(3)成立.高考题5(2010·重庆·理·20)已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.(I)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(II)如图4，已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积.图4解(I)(过程略)双曲线的标准方程为，其渐近线方程为.(II)由“两点确定一直线”可得直线的方程为：.分别解方程组，得.因为点在双曲线上，所以.由定理1(2)，得注下面将指出图4的错误：因为点关于轴的对称点也在双

10、曲线上，而双曲线在点处的切线方程为即也即直线，所以直线与双曲线应当相切，而不是相离.高考题6(2011·四川·理·12)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为