研究高考数学试题的几种视角

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1、研究高考数学试题的几种视角高考数学试题是命题专家依纲靠本、科学设计的典型题•它不仅在一定程度上浓缩了课本重要的数学慕础知识和基本技能•而且建涵若丰富的数学思想方法•能够折射出髙考数学命题的基本走向和考査的深度与广度.选好视角是从爭任何研究工作的前提和莓本策略.本文以对2012年奇考数学湖北卷解析几何解答題的研究为例，谈谈研究高考数学试题的几种視角.题目设A是单位圆=l上的任意一点，/是过点A与工轴垂宜的壷线是直线/与工轴的交点•点M在宜线/上，且満足

2、DM

3、=z«

4、DA

5、（zn＞0,且加H1）・当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.（I）求曲线C的

6、方程，判新曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（n〉过原点且斜率为k的直线交曲线c于p、q阿点•其中P在第--象限，它在，釉上的射影为点N.直线QN交曲线C于另一点H.是否存在加・使得对任总的殳＞0,都有PQ丄PH?若存在，求m的值；若不存在•请说明理由.I研究试題的立意立意是试题的考杳目的.髙考数学试题的命制一股以立意为中心，以能力立意命題就是首先确定试题在能力方面的考査目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考査内容，设计恰当的设问方式.能力立意的试题以基础知识、基本技能和基本数学思想方法为载体，它体现了芳试的目的利内容.本题设计的七个动点（即A

7、、D、M、P、Q、N、H）和两个参数（即皿和厂之间相互制约，两问有机衔接•既反映了有心二次曲线间的轨迹相关性•又体现着曲线间的动静相宜，主要考査曲线与方程、椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭岡的位置关系等基础知识・1可时考査椎理论证和运算求解能力，以及數形结合、分类讨论、转化与化归的思想和相关点法等方法.该題在学科基础知识、基本能力和基本思想方法的交汇处命题•耍求考生推理细致全而•运算合理准确，能综合运用代数方法和几何性质进行转化与化归，具有较强的甄别功能.2研究试題的解法研究试题的解法主姿足指试题的一题多解.一題多解是折对一道试题从多种不同的角度进行

8、分析与探究•进而得到多种解法•既右朴实自然的通法•又冇巧妙简捷的巧法•这旺能培养学生学习的兴趣，又能培养学生思维的发散性、选择性、灵活性、深刻性•还能培养学生的数学探究意识.本题第（I〉问要求曲线C的方程•注意到点A在圆十+b=l上运动•点A的运动引起点M的运动.我们可以由点M在直线/上•且満足IDM

9、=加

10、04

11、（加＞0,且加H1）得到点M与点人坐标之间的关系式•井由点A的坐标横足圆的方程得到点M的坐标所滿足的方程.寻求点M与点A的坐标之间的关系，并由点A的坐标所满足的方程得到点M的坐标所满足的方程，这杲解析几何中求点的轨迹方程常用的-种方法一相关点

12、法.本题第（U〉冋要判断是否存在加•便得对任意的怡＞0•都有PQ丄PH,可考虑PQ丄PH的等价形式:P（5・Ffl=0或心）・»h=-1・无论是向&F3.P"•还是斜率点2、知”，鄱涉及P、Q和H三点的坐标•均冇两种运算途径：一是通过直线方程与愉圆方程联立求出点的坐标；二是避求交点•设而不求，整体转化•第一种途径朴实自然，但运算屋大•第二种途轻巧妙潸晰，运算戢相对较小.也可以考虑参数法•选择点的参数坐标达到降低运算址的目的，还可以考虑通过伸冷变换还椭圆为圆后，让椭圆-圆”形毕露，利用直径所对的岡周角为直角，直击问题的本质，具体解法过程从略.（1）若直线

13、PA平分线段MN■求k的值；（U）当《・2时，求点P到直线AB的距离厶（in）对任意的k>09求证屮A丄PB3研究试題的背昂4研究试題的推广研究高考试题设计的背尿，对于搞好高中数学教学具有十分垂要的意义.高粵数学试题设计的背最通过不同的載体来实现和依托不同的方式来呈现•常见的有「以课标为背景；以往年高考试题为背景；以国外高考试越为背蔬'以数学竞赛试题为背戢；以经典数学名题为背景，以生活数学常识为背景‘以离等数学知识为背景.本题第（I〉问的背景是椭圆可以认为是把圆拉伸或压缩得到的，这也是椭圆生成的一种方式，在伸缩变换下，圆与椭圆可以互变共生•此问源于人教

14、A版数学K选修1-1》第34页例2（也是A选修2-打第41页例2〉，最早追溯到1979年6月版的全日制十年制学校离中教材*数学9第二册第131页第10题.此问的背景还可以迫溯到2011年高考数学陕西卷理科第17题第（I）问：如图1，设P是圆才‘+y2=25上的动点，点D是P在工轴上的投影，M为PD上一点•且

15、MD

16、-4-

17、PD

18、.（IJ当P在関上运动时•求点M的轨迹C的方程：（II）求过点（3.0）且料率为+的宜线被C所就线段的长度.木题第（U）问的背最是椭圆上一点与椭圆的一条直径（椭岡一组平行孩的中点）的蘭个端点的斜率之积为定值.此问源于人教A版数学

19、选修1-1》第35页例3（也是《选修2・M第41贞例3）•最早追溯到1979年6月版的全日制十