第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

《第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、DFS和DFT的导出DFS和DFT的性质Z变换与DFS的关系FFTIDFT频谱分析第三章DFT——离散付氏变换1连续信号xa(t)，其傅里叶变换为：xa(t)为时域连续信号Xa(Ω)为频域连续信号3.1问题的提出：连续信号的傅里叶变换2离散信号在两种变换域中的表示方法（1）离散时间傅里叶变换DTFT--提供了绝对可加的离散时间序列在频域（ω）中的表示方法。（2）Z变换--提供任意序列的z域表示。这两种变换有两个共同特征：（1）变换适合于无限长序列（2）它们是连续变量ω或z的函数3.1问题的提出：

2、离散信号的变换3问题：X(z)，X(ejw)都是连续的，利用计算机处理有困难，例如使用Matlab，因此提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题；必须截断序列，得到有限个点的序列。目标：我们需要得到一个可进行数值计算的变换方法：（1）DTFT-频域中原始信号频谱的周期拓展（2）对DTFT在频域中采样--DFS（3）将DFS推广到有限持续时间序列DFT（DFT避免了前面提到的那两个问题，并且它是计算机可实现的变换方式。）DFT已成为DSP算法中的核心变换，原因：（1）有限长序列傅里叶变换的重要

3、方法（2）有快速算法3.1问题的提出：可计算性4时间函数频率函数3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式（1）非周期连续时间—傅里叶变换(FT)－连续频率周期连续时间—傅里叶级数(FS)－离散频率非周期离散时间—离散时间傅里叶变换(DTFT)－连续频率周期离散时间—离散傅里叶级数(DFS)－离散频率53.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式（2）1.连续信号（非周期）的付氏变换时域连续函数造成频域是非周期的谱时域的非周期造成频域是连续的谱62.周期连续时间信号：傅里叶级数FS时域连续函数造成频域是非

4、周期的谱。频域的离散对应时域是周期函数。3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式（3）时域周期频域离散)(0WnXWTp20=W)(~txtT73.非周期离散信号：离散时间傅里叶变换DTFT时域的离散化造成频域的周期延拓时域的非周期对应于频域的连续3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式（4）时域离散频域周期取样定理84.周期离散时间信号：离散傅里叶级数DFS一个域的离散造成另一个域的周期延拓离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周期的3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式(5)kTT1n周期取

5、样间隔时域周期、离散频域周期、离散9四种傅里叶变换形式的归纳总结：形式时间函数频率函数傅里叶变换FT连续非周期非周期连续傅里叶级数FS连续周期(T0)非周期离散(Ω0=2π/T0)离散时间傅里叶变换DTFT离散(T)非周期周期(Ωs=2π/T)连续离散傅里叶级数DFS离散(T)周期(T0)周期(Ωs=2π/T)离散(Ω0=2π/T0)离散时间函数的取样间隔：T1，取样频率：离散频率函数的取样间隔：F0，时间周期：3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式（6）结论：①时域中函数取样(离散)（映射

6、）频域中函数周期重复；②频域中函数取样（映射）时域中函数周期重复；③取样间隔（映射）周期（2π/间隔）100nN(d)DFSk0N-N1/T-N(c)FSW-ΩmXa(kΩ1)tTm0T1-T11Ω1Ωmnx(n)=xa(nT)Tm0(b)DTFTWΩm-ΩmΩs-Ωs1/TTtxa(t)Tm0(a)FTWΩm-ΩmXa(Ω)时域中函数的取样和频域中函数的取样3.1问题的提出：傅里叶变换的四种形式(7)11由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延拓

7、。因此可以设想，如果同时对频域和时域取样，其结果是时域和频域的波形都变成离散、周期性的波形，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得到它们之间的离散付氏级数DFS关系。3.2DFS及其性质12基本关系式若r，m都是整数,则:其中:DFS定义：预备知识证明:对于r=m：不论k取何值，显然等式成立。对于r≠m：13为了推导的关系，作下列变量代换：时域：频域：则得：?DFS定义：正变换14周期离散序列的Z变换存在（收敛）的问题因为周期离散序列，而对于周期信号，严格数学意义上讲，其Z变换不收敛，因为：而对于

8、找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函数，其Z变换：DFS定义：正变换15其频谱：（ω是连续变量，需要对其离散化）DFS定义：正变换（取的一个主周期进行Z变换）16频域取样X(ejω)是连续变量ω的周期函数，周期为2π。把ω离散化，即在0～2π区间内等间隔取N个点，取样间隔为2π/N。另一个角度看，X(ejω)是Z平面单位圆上的Z变换。连续变量ω的离散化也可以认为是把单位圆分N等分，每分为2π/N。其中：称为频域中的取样间隔，也称为频率分辨率。DFS定义：正变换17DFS定义：正变换