离散序列的傅里叶(DFT)

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1、离散序列的傅里叶变换及其快速算法（DFT）单位冲激函数的傅里叶变换：这是离散傅里叶变换，它是一个以2为周期的函数。也可以看成是周期信号在频域内展开的傅里叶级数，其中h[n]是傅里叶系数。由Z变换的定义可得：=H(z),当z=时。也就是说傅里叶变换等于仅在单位圆上取值的Z变换。信号在时域的能量与在频域的能量是相等的，因为是同一个信号，只是用不同的角度描述。DTFT是离散时间序列的傅里叶变换，其时域是离散的，谱是周期的，但还是连续的，仍然不能用计算机处理，因为计算机要求时域和频域都是离散的，实际上要求时域和频域都既是离散的，也是

2、周期的。时域的连续非周期信号对应频域的连续非周期谱（FT）时域的连续周期信号对应频域的离散谱。（FST）时域是离散的对应频域是周期谱。（DTFT）时域离散周期对应频域离散周期。（DFT）DFT中，变换的两边都是离散的，从而才是真正能用计算机来处理的数字信号变换对。两边都是周期的，处理可以在一个周期内进行。有两层含义：3一是所做的处理是有限的，而是一个周期可以包含全部信息。信号的离散周期化：工程中的实际信号是连续非周期的，为了进行DFT，就必须将其离散周期化。离散化就是采样的过程；周期化分为两种：有限长序列，长度为N，则可以将

3、该N点序列看成是周期信号的一个周期；无限长序列，截为N点。为了能让计算机处理，需要将时域的连续信号非周期信号做处理，首先用一个冲击串和时域信号相乘，这样得到一个离散的非周期信号(在频域对应的是连续的周期信号)，在对时域的离散非周期信号作周期延拓，则在时域得到一个离散的周期信号(同时，频域也是一个离散的周期信号)。这就为DFT做好了准备。DFT的定义：反变换：其中：特别注意：这是一个以N为周期的信号，每经过N点，在单位圆上转一圈。3DFT的性质：1、线性2、循环移位整个序列移动，前面的移出去了，后面的移进来了。涉及循环卷积的问

4、题模拟信号的数字化Nyquist采样定理：截止频率为f的带限信号，由相距不大于1/2f的均与间隔上的采样序列惟一地确定。T=1/2f称为不失真的最大采样间隔。2f为不失真的最低采样频率。由于理想低通滤波器是不存在的，所以采样频率一般都大于两倍。采样：1、首先让信号通过一个低通滤波器（称为防混叠滤波器），使其成为带限信号）。2、往往将采样频率选择为防混叠滤波器带宽的2.5到3倍，以保证无混叠产生。3、采样脉冲尽可能的窄，以接近理想的冲击序列，否则，采样信号会产生Sa（x）的包络调制。4、采样保持器，使采样电平在一段时间保持不变

5、。5、量化（逐次逼近（速度和精度是一对矛盾），闪烁式（速度快，精度稍低））量化噪声：S/N=(6.02n+4.77)dB,每增加1bit,S/N提高约6dB.量化噪声的降低，是要付出代价的：转换速度，成本，存储空间和数据吞吐速度，当信号本身的噪声已经大于量化噪声时，在降低量化噪声已经没有任何意义。3