复变函数全套课件

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1、《复变函数》2两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.第一讲复数及其代数运算3辐角的主值4三角表示法利用欧拉公式复数可以表示成称为复数z的指数表示式.指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成5方根单连通域与多连通域从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.6复变函数的概念注意:复变函数的极限极限计算的定理7复变函数的连续性连续的充要条件8解三、

2、典型例题9解10例解例5求下列复数的辐角主值:解12例将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为13指数表示式为故三角表示式为指数表示式为14故三角表示式为指数表示式为6、基本问题(1)已知方程求图形例求下列方程所表示的曲线:解16化简后得一般方法：17解所以它的复数形式的参数方程为(2)已知图形求方程例18例10试用复数表示圆的方程:其中，a,b,c,d是实常数。解：一般方法：20例解复数的运算21例解22即23例解即2425例1解三、典型例题26所以象的参数方程为27例函数将平面上的下列曲

3、线变成平面上的什么曲线？解又于是表示平面上的圆.(1)28解表示平面上以为圆心，为半径的圆.放映结束，按Esc退出.29例2证(一)30根据定理一可知,证(二)311）导数的定义1.复变函数的导数与微分2)复变函数的微分2.解析函数可微可导连续有定义极限存在解析第二章3.奇点4.可导与解析的判定5、解析函数的判定方法6.初等解析函数1)指数函数2)三角函数3）对数函数4)幂函数39例解例判定在何处可导解不满足柯西－黎曼方程,41例判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,42四个偏导数均

4、连续43例证44例解45例解46例例1例3解例4解注意:在实变函数中,负数无对数,复变函数中负数有对数.例5解例6解答案课堂练习例7解例10解方程解设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那末我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第三章1.有向曲线2.积分计算（1）用参数方程将积分化成定积分3.柯西－古萨基本定理(柯西积分定理)由定理得4.原函数的定义(牛顿-莱布尼兹公式)5.闭路变

5、形原理复合闭路定理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末6.柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.7.高阶导数公式8.调和函数和共轭调和函数任何在D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.共轭调和函数解:(1)例1直线OB的参数方程为积分都与路线C无关(2)直线OA的参数方程为直线AB的参数方程为例2解(1)积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为y=xy=x(3)积分路径由两段

6、直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为例3解积分路径的参数方程为例4解积分路径的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.例解根据柯西－古萨定理,有例3解根据柯西－古萨定理得例1计算例2计算例3计算三、典型例题例1解依题意知,根据复合闭路定理,例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例3解由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.例1解由柯西积分公式三、典型例题例2解例2解由闭路复合定理,

7、得例2解例3解根据柯西积分公式知,三、典型例题例1解根据复合闭路定理3.偏积分法如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.解例1得一个解析函数这个函数可以化为例1解:利用柯西—黎曼方程,因而得到解析函数因而得到解析函数第四章1.复数列记作表达式称为复数项无穷级数.其最前面项的和称为级数的部分和.部分和2.复数项级数1)定义2)复级数的收敛与发散充要条件必要条件非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条

8、件收敛如果收敛,那末称级数为绝对收敛.绝对收敛条件收敛称为这级数的部分和.级数最前面项的和3.复变函数项级数其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作4.幂级数1)在复变函数项级数中,形如的级数称为幂级数.----阿贝尔Abel定理如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足2)收敛定理(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处