泛函分析试卷

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1、泛函分析试卷泛函分析期末考试试卷（总分100分）一、选择题（每个3分，共15分）1、设X是赋范线性空间，x,y?X,T是X到X中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）・A・？Ty??x?y,0???1B.?Ty??x?y,??1C.?Ty??x?y,0???1D.?Ty??x?y,??12、设X是线性空间，x,y?X,实数称为x的范数，下列哪个条件不是应满足的条件：（）.A.?0'且?0等价于x?0B.x??为任意实?复?数C.?y??yD.?x?y3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）・A.收敛点列的极限是唯一的B.基本点列是收敛点列C.基本点列是冇界点列D.收敛点列是冇界点列

2、4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（）・A.集X是开的B.集Y是开的C.集X是闭的D.集Y是闭的5、设lp（l?p???）的共轨空间为lq,则有？的值为（）・A.?1B.lplqllC.1D.?22二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。2、任何赋范线性空间的共觇空间是（）o3、II的共轨空间是（）。4、设X按内积空间<xzy>成为内积空间，则对于X屮任意向量x,y成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充耍条件是（）。三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是

3、线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。（）2、距离空间中的列紧集都是可分的。（）3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。（）4、任何一个Hilbert空间都有正交基。（）5、设X是线性赋范空间，T是XX的有界线性算子，若T既是单射乂是满射，则T有逆算子。（）四、计算题（10分）叙述II空间的定义，并求II上连续线性泛函全体所成的空间？。五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分）1、若T为Banach空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。2、设C[0,l]表示闭区间[0,1]±连续函数全体，对任何x,y?C[0,l],令证明d（x,y）??

4、

5、x（t?）y（t）

6、dt,（x,d）成为度量空间。013、证明R按范数

7、

8、x

9、

10、?max

11、?i

12、组成的赋范线性空间X与R按范数

13、

14、x

15、

16、??

17、?i

18、innni?l组成的赋范线性空间Y共轨。4、设X是可分Banach空间，M是X?中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱*收敛子列。5、设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。泛函分析期末考试试卷答案一、选择题1、A2、D3、B4、D5、D二、填空题1、柯西点列2、巴拿赫空间3、I4、

19、<x,y>；

20、^

21、

22、x

23、

24、

25、

26、y

27、

28、5、对于一切xex,<TX,X>是实数三、判断题l^对2、对3、错4、

29、错5、错四、计算题???答:l??x?(?l/?2/L)??i??,?i?R/(i?l,2L?)?i?l??l?对于任意x?(?l,?2,L?n,L),y?(?l,?2L?n,L),定义运算x?y?(?l??l,?2??2L?n??n),ax?(a?l,a?2La?n)I按上述加法与数乘运算成为线性空间xl???i1?i?lII按上述定义的范数构为Banach空间令en?(0,0Ll/0L),n?l/2L,xn?(?l,?2L?n,0,0,L),xn???ieinni?2贝lJ?x?(?l,?2L?nL)?ll能被表示为x?limxn,对任意给定f??ll?,'nn??令f(en

30、)??n,n?l,2L则f(x)?f(limxn)?limf(xn)?lim??if(ei)????ii.n??n??n??i?li?lnn又因为ei?l对于？i有i?f(ei)?feil?fo由此可得supi?f即(?l,?2L?nL)?l?I反之,对?b?(?l,?2L?nL)?l?,作II上泛函f(x)如下:llf(x)????ii,?x?(?l,?2L?nL)?l,显然f是I上线性泛函，乂因为ni?lf(x)????ii???ii?supi・？i?supix,i?li?lii?li???因此，f?(ll)',并且有f?supi?b?.综上(⑴'?l?・i五、证明题

31、(共50分)1、证：反证法。若T为定义在整个空间X上的闭算子，由于X为闭集，而X为Banach空间，由闭图像定理可知，T为X到X的冇界闭算子，这与T为无界闭算子矛盾，原命题成立。2、证：由定义，对于?x,y?C[0’l],显然d(x,y)?0,且如果x(t)?y(t),t?[0,l],显然d(x,y)?0仮之如果d(x,y)?0,因为

32、x(t)?y(t)?

33、0,所以x(t)?y(t),a.e于由于.[0,l],x(t),y(t)为连