闭区间上连续函数性质的证明

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1、第二节闭区间上连续函数性质的证明福州大学数学与计算机学院1一、有界性定理二、最值定理三、零点存在定理四、反函数连续性定理五、一致连续性定理福州大学数学与计算机学院2定理1设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.证明一:(应用致密性定理证明)一有界性定理福州大学数学与计算机学院3福州大学数学与计算机学院4福州大学数学与计算机学院5证法二:(应用有限覆盖定理证明)福州大学数学与计算机学院6福州大学数学与计算机学院7证明三:(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院8福州大学数学与计算机学院9福州大学数学与计算机学院10定理2设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则

2、f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值.证法一(应用致密性定理证明)二最大最小值定理福州大学数学与计算机学院11福州大学数学与计算机学院12证明二:(应用确界原理证明)福州大学数学与计算机学院13福州大学数学与计算机学院14福州大学数学与计算机学院15定理3(零点存在定理)设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),则至少存在一点(a,b)使f()=0.三零点存在定理证明:(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院16福州大学数学与计算机学院17福州大学数学与计算机学院18福州大学数学与计算机学院19介值定理闭区间[a,b

3、]上的连续函数f(x)可以取其最大值和最小值之间的一切值.即设f(x)在[a,b]上的最大值为M，最小值为m，那么对任意的c，m

4、理；有限覆盖定理）最值定理（致密性定理；确界原理）零点存在定理（区间套定理）反函数连续性定理（介值定理）康托定理（致密性定理；有限覆盖定理）