2.4.2 二分法

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1、观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:在区间[2,4]上，f(2)___0,f(4)___0，f(2)·f(4)___0在区间[2,4]上，x＝3是x2－2x－3＝0的另一个根.....xy0－132112－1－2－3－4－24思考1><<<<>在区间[-2,1]上，f(-2)__0,f(1)___0,则f(-2)·f(1)___0，在区间[-2，1]上，x=-1是x2－2x－3＝0的一个根ab’x0x1x20如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)·f(b

2、)<0，则这个函数在这个区间上,至少有一个零点，即存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点yxb从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为个。思考2上海旧金山ABCDEFGHIJKLMNO?32．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法由于解决实际问题的需要，人们经常需要寻求函数y=f(x)的零点（也就是方程f(x

3、)=0的根）。求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法。在16世纪，人们找到了三次函数和四次函数的求根公式，但对于高于四次的函数，类似的努力却一直没有成功。到了19世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）不存在求根公式，也就是说，不存在用四则运算即根号表示的一般公式解。同时对于三次和四次的代数方程，由于公式解的表示相当复杂，一般来讲并不适宜用作具体计算。因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求求零点的近似解的方法。这在计算数学中是一个

4、十分重要的课题。下面我们介绍求函数零点的近似值的一种计算方法：二分法。已知函数y=f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度。下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤。第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0]D，使f(a0)和f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0，零点位于区间[a0，b0]中；1.用二分法求函数零点的一般步骤第二步：取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为，计算f(x0)和f(a0)，并判断：（1）如果f(x0)=0，则x0就是f(x)的零点，计算

5、终止；（2）如果f(a0)·f(x0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1=a0，b1=x0；（3）如果f(a0)·f(x0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1=x0，b1=b0；第三步：取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为计算f(x1)和f(a1)，并判断：（1）如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；（2）如果f(a1)·f(x1)<0，则零点位于区间[a1，x1]中，令a2=a1，b2=x1；（3）如果f(a1)·f(x1)>0，则零点位于区间[x1，b1]中，令a2=x

6、1，b2=b1；……继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an、bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点。计算终止。这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。例1.求函数f(x)=x3+x2－2x－2的一个正实数零点（精确到0.1）。解：由于f(1)=－2<0，f(2)=6>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：[1.376，1.4375]f(x3)=0.162>0x3=1.4375[1.37

7、5，1.5]f(x2)=－0.260<0x2=1.375[1.25，1.5]f(x1)=－0.984<0x1=1.25[1，1.5]f(x0)=0.625>0x0=1.5[1，2]f(1)=－2，f(2)=6a0=1，b0=2确定区间计算端点或中点的函数值端点或中点横坐标由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近似值。函数f(x)=x3+x2－2x－2的图象如图所示，实际上还可以用二分法继续计算下去，进而得到这个零点精确度更高

8、的近似值。以上求函数零点的二分法，对函数图象上连续不间断的一类函数的零点都有效。如果一种计算方法对某一类问题（不是个别的）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到惟一的结果。我们经常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的算法。算法是刻板的、机械的。有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法