关于与给定矩阵可交换的矩阵的多项式表示

《关于与给定矩阵可交换的矩阵的多项式表示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第２８卷第１期大学数学Ｖｏｌ．２８，№．１２０１２年２月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＦｅｂ．２０１２关于与给定矩阵可交换的矩阵的多项式表示杨忠鹏１，冯晓霞２，张清新１，２（１．莆田学院数学系，福建莆田３５１１００；２．漳州师范学院数学系，福建漳州３６３０００）［摘要］文［１］得到：若矩阵Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形中没有纯量矩阵的Ｊｏｒｄａｎ块，那么ＡＢ＝ＢＡ的充要条件为Ｂ可以化为Ａ的ｎ－１次多项式．本文指出这个结论是错误的．在已有相关文献的基础上，得到了与给定矩阵Ａ可交换的矩阵Ｂ是Ａ的多项式的十个等价刻划．［关键词］可交换矩阵；多项式矩阵；非减次矩阵；Ｊｏｒｄａｎ标准形；最小多项式［中

2、图分类号］Ｏ１５１．２１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１２）０１－００９９－０８１引言因为矩阵乘积交换性和所在数域的变化无关，总约定讨论是在复数域Ｃ上．设Ｃｍ×ｎ为Ｃ上所有ｎ×ｎ的特征多项式ｍ×ｎ矩阵集合，Ｅｎ为ｎ阶单位矩阵．ｇＡ（ｘ）＝ｄｅｔ（ｘＥｎ－Ａ）和ｍＡ（ｘ）分别表示Ａ∈Ｃ和最小多项式．Ｃ上多项式ｆ（）ｘ（∈Ｃ［ｘ］）的次数记为ｄｅｇｆ（ｘ）．Ａ∈Ｃｎ×ｎ的不变因子为ｄ（Ａ），１ｄ２（Ａ），…，ｄｎ（Ａ）．当然ｄｉ（Ａ）整除ｄｉ＋１（Ａ），ｉ＝１，２，…，ｎ－１且ｄｎ（Ａ）＝ｍＡ（ｘ）．矩阵乘积可交换性吸引［１－１１］着众多学者．矩阵Ａ的多项式ｆ（Ａ）（ｆ（

3、）ｘ∈Ｃ［ｘ］）总与Ａ可交换．当ＡＢ＝ＢＡ时，Ｂ是否是Ａ的多项式？文［１］研究了这个问题．［１］设－１ｎ×ｎ，（１．１）ＰＡＰ＝ｄｉａｇ（Ｊ１，Ｊ２，…，Ｊｓ）＝Ｊ∈Ｃ［１］认为在Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形Ｊ中的Ｊｏｒｄａｎ块有三种类型：（ｉ）Ｊ（ａ，ａ，…，ａ），ａ（ｉ＝１，２，…，ｔ）互不相同且都是Ａ的特征值；（１．２）ａ＝ｄｉａｇ１２ｔｉ烄ａ１０…００烌０ａ１…００（ｉｉ）Ｊ………………，实数ａ是Ａ的多重特征值；（１．３）ｂ＝０００…ａ１烆０００…０ａ烎（ｉｉｉ）Ｊ（ａ，ａ，…，ａ），ａ可以是任意实数，它也是Ａ的多重特征值．（１．４）ｃ＝ｄｉａｇ在（１．１－１．４）所设的前提下，［１］得

4、到［１］命题１一个矩阵Ａ化成Ｊｏｒｄａｎ标准形Ｊ后，若Ｊ中没有纯量矩阵的Ｊｏｒｄａｎ块，那么与Ａ可交换的Ｂ矩阵其充要条件为Ｂ可以化为Ａ的ｎ－１次多项式，即２ｎ－１Ｂ＝ｆ（Ａ）＝ｐ０Ｅｎ＋ｐ１Ａ＋ｐ２Ａ＋…＋ｐｎ－１Ａ．［１］解释了命题１的条件是Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形Ｊ中，只有由（１．２）和（１．３）所示的Ｊａ，Ｊｂ这两种Ｊｏｒｄａｎ块，没有由（１．４）所示的Ｊｃ型．在［１］末尾处说，该结果可表达为若在Ａ矩阵中（笔者：实际应为在Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形中）没有纯量矩阵的对角块，那么与它可交换［收稿日期］２００９－０４－１５［基金项目］福建省自然科学基金项目（２０１０Ｊ０１０１８）；２００８年福

5、建省高校服务海西建设重点项目（２００８ＨＸ０３）；福建省教育厅科技项目（ＪＡ０８１９６，ＪＡ０９１６７）１００大学数学第２８卷的矩阵Ｂ必可以表示为Ａ矩阵的ｎ－１次多项式．在［１］开头说：除Ａ很特殊情况外Ｂ与Ａ可交换的充要条件为Ｂ是Ａ的ｎ－１次多项式．我们要指出［１］的断言，和实际情况有很大差距，因为其主要结果（命题１）是错误的（见第２节）．作为［１］错误的修正，在已有相关文献的基础上，我们给出了与给定矩阵可交换矩阵的多项式表示十个等价刻划，从中可得到一些简单实用的判定方法．２关于文献［１］的研究ＨＯＯＥ２１１ＯＨ例１设Ａ＝，Ｂ＝（）４×４，其中Ｈ＝，则ＡＢ＝，且对任意（ＯＨ）ＯＯ∈Ｃ（０１

6、）（ＯＯ）＝ＢＡａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｃ，有ＧＯＯＥ２ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ３ａ＋２ｂ＋ｃ３２，Ｇ＝ａＡ＋ｂＡ＋ｃＡ＋ｄＥ４＝（ＯＧ）≠（ＯＯ）＝Ｂ（ｄ）．０ａ＋ｂ＋ｃ＋例１中Ａ满足［１，定理２］要求（Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形Ｊ（＝Ａ）中只有由（１．２）和（１．３）所示的Ｊａ，Ｊｂ的Ｊｏｒｄａｎ块）且ＡＢ＝ＢＡ，但例１表明Ｂ不能表示为不超过３次Ａ的多项式．在对命题１的必要性证明中，［１］将ＡＢ＝ＢＡ在所设（１．１）之下转化为等价形式－１），ｉ，ｊ＝１，２，…，ｓ．（２．１）ＪＸ＝ＸＪ，Ｘ＝ＰＢＰ＝（Ｘｉｊ［１］认为Ｊ中只有Ｊａ，Ｊｂ这两种Ｊｏｒｄａｎ块，而与Ｊａ，Ｊｂ型Ｊｏｒｄａｎ块可交换的矩阵都可表为Ｊ

7、ａ，Ｊｂ的ｎ－１次多项式．［１］由此得到，与Ｊ可交换矩阵都可表为Ｊ的ｎ－１次多项式，这样从（２．１）就得到了结论．实际上，在所设（１．１）下，（２．１）的等价形式应为ＪｉＸｉｊ＝ＸｉｊＪｊ，ｉ，ｊ＝１，２，…，ｓ．（２．２）［１］的证明只考虑到ＪｉＸｉｉ＝ＸｉｉＪｉ，ｉ＝１，２，…，ｓ，（２．３）而忽略了（２．２）的ｉ≠ｊ情况．由［２，３，４］等知，（２．２）研究比（２．３）复杂得多且一般得不到“与由（１．１）所确定Ｊ可