数学教学典型案例分析(精编)

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1、数学教学典型案例分析西华师范大学数学与信息学院杨孝斌孔子曰：知之者不如好知者，好知者不如乐知者.如何培养学生的数学学习兴趣？？？数学教学案例分析之一——“糖水浓度与数学发现”系列活动课道具：一缸清水一罐白糖大大小小的玻璃杯若干个大家都知道：活动课之一——等比定理的发现分成三小杯请问：三小杯糖水的浓度有何关系？由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：……①现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：倒入一个大杯请问：混合后糖水的浓度与原三个小杯糖水的浓度有何关系？学生1：混合后的糖水浓度为由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖水浓度相等，即是：……②这就是等比定理：若①即②.从“糖水情境”到“

2、等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，两者之间有“质”的区别.把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系——等比定理，这就是数学了.这中间的过程就是一个“数学化”的过程！！！问题：“糖水情境”中的与“等比定理”中的有区别吗？学生2：“糖水情境”中的只能是正数，并且.而“等比定理”中的不需要这么多限制，只要有就够了.老师转问学生1：为什么说②式是混合后的浓度？学生1：学生3：老师问学生3：为什么？有何依据？学生3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分

3、，比如：21克糖水中有3克糖，其浓度是.老师：学生4：还是！！！老师问：学生4：此时式子②虽然不是混合糖水浓度定义的直接式子，但在数值上并没有变！学生4：这是因为学生5：学生6：于是我们一共得到了等比定理的三种等价形式！大家都知道，在糖水未达到饱和之前，给糖水加糖，糖水就会变甜！活动课之二——真分数不等式的发现老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个不等式来表达这个结论？学生７：老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来.学生７：老师问：很好！这里的c表示什么？学生７：表示加糖了！老师问：c表示所加的糖的质量吗？浓度与质量可以直接相加吗？学生７：c不是糖的质量，而是浓度的增加量.老师问：那你

4、这个式子只是反映了浓度的增加，并没有反映出浓度增加的原因－－糖的增加.那么如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个事实反映出来呢？学生８：老师，我明白了！学生９：同样可以考虑约分的情形　！学生10：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：新的发现：关于糖水的浓度问题，我们还可以从中发现“中间不等式”并由此得出“定比分点公式”，并可以从中找到很多很有意义的数学模型.感兴趣的老师可以参阅——《中学数学课例分析》（罗增儒著陕西师大出版社2001.7出版）数学教学案例分析之二——一个不等式的证明与变式例：设，求证：…………①思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观察上式中三个根式的结

5、构特征，可以发现：所以，　　　　　可以看作以为边夹角为　　的三角形的第三边.另两个根式类似地可视为一个三角形的第三边.于是可构造满足条件的三棱锥帮助证明此题.构造相应的几何图形：证明：如图.构造三棱锥S-ABC，依余弦定理得：因为三角形两边之和大于第三边，所以在△ABC中，有很显然，同样有下面两个不等式成立：…………②…………③到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根号内的值，不等式是否成立？即是下述不等式是否成立？…………④受前面数形结合证法的启示，我们作类似的处理.这次作出的图形会是什么样子的呢？？？一共有几种情形呢？由以上三图知，不等式④应修正为：…………⑤同理有类似的结论：…………⑥

6、…………⑦我们现在把不等式前面的两个根号的值变大，显然有以下三个不等式成立：…………⑧…………⑨…………⑩现在以x、y、z为边的三个夹角都是120°，恰好拼成一个周角，作图如下：同样我们有与类似的共9个不等式（即“前两个根式中有一个的交叉项为负、其余为正”或者“前两个根式中有一个的交叉项为正、其余为负”）成立.那么，如果要仿上作出图形利用“余弦定理”和“三角形两边之和大于第三边”来证明它们，所作的图形又是怎么样的呢？请大家仔细思考这个问题！1.问题的提出已知图形如下：请记住这道题目，并根据排列组合的知识推算这样的不同图形共有多少个？数学教学案例分析之三——一道有趣的开放题现保持阴影部分的面

7、积大小，该图形可以变化为如下一系列图形：假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为90°的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变.画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由.2.问题解决的思路为了解决这个问题，我们还得回到最初的图形.先将原图分成四部分，如下：思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个空白正方形的问题