方程思想妙用

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1、利用方程思想解决圆锥曲线位置关系问题在圆锥曲线这部分的问题中，我们会遇到很多类型的综合性问题，而这些综合题也往往是高考时候压轴的大题，有些同学看到这种题目就会紧张，会觉得这类题目非常的复杂•其实，大家完全不需要担心，只要你把握了题目要考察你的知识点,这道题目对你来说就一点都不困难.其实圆锥曲线这部分的综合题无非分为儿个大的类别，下面的专题中，我们就会一一进行介绍.作为非常典型的一类题冃，大家对直线与圆锥曲线的关系问题一定不会感到陌生.但是，这类题目往往做起来都非常的烦琐，所以一定要有一个清晰的思路，要明确做题的重点和核心在哪儿.方程思想的几何妙用现在我们一起来总结一下这类

2、题目的思路.我们要解决直线与曲线的位置关系问题，首先就要把这样一个抽象的几何问题转化成为一个我们熟悉的代数问题.在这里，我们运用的是方程的思想•其实无论是直线，还是圆锥曲线，都是一个含有两个未知数x,y的二元方程.而直线与方程的交点，实际上就是既能满足直线方程，又能满足圆锥曲线方程的点x,y.了解了这些之后，我们便可以清楚的知道，直线方程和圆锥曲线方程组成一个二元的方程组，这个方程组解的个数就应该是交点的个数.这里，我们求方程组解的个数是比较困难的，所以，我们通常的做法是将直线方程代入到圆锥曲线的方程屮去，得到我们熟悉的一元二次方稈组，这样我们就可以根据根与系数的关系得到

3、交点的个数以及交点坐标之间的关系.总结一下，我们的思路其实非常简单.首先，写出直线方程和圆锥曲线的方程；然后，将直线方程代入到圆锥曲线方程屮去；接着，根据得到的一元二次方程，利用判别式或者根与系数的关系就可以讨论交点的个数，并且得到交点坐标Z间的关系.实践一下回想我们刚刚讲的思路，是不是非常的清晰，然而真正到了做题的时候，我们有时候却会不知所措，这是因为这类题目汁算过程可能非常的烦琐，但是无论什么时候，都一定耍记住我们的大思路，一定要有一个清晰的思路贯彻做题的始终.现在，我们就一起实践一下，进一步巩固我们刚刚讲过的思路.对于椭圆甘+3），=3,是否存在一个以A（0,-1）

4、为直角顶点的等腰直角三角形内接于椭圆.首先，我们写出直线方程和圆锥曲线的方程.在这里，圆锥曲线的方程是已知的，此外我们还知道点A的坐标（A在椭圆上），现在我们要设出等腰直角三角形的两条直角边的直线方程•我们可以设两条直角边分别为AM和AN,M、N分别为直线与圆锥曲线的交点，AM：y=-^x-:AN：y=kx-;（k>0）.（注：因为AM和AN垂直，所以斜率Z积为-1）然后，我们分别将AN的方程代入到椭圆的方程小，得到兀2+3（尬-1）2=3,根据根与系数的关系我们可以得到=J1+3疋.6k1+3疋同样道理，我们也可以求出AM=Jl+3/•根据题设，AM=AN,

5、所以一^=J—,这吋候k只有一个解，所以，1+3kk+3存在一个这样的直角三角形内接于椭圆.回过头来看一下，我们上而这道题的思路，虽然中间的计算可能会比较复杂，但总的思想跟我们刚刚总结的思路是一致的，就是利用方程的思想来解决交点的问题.熟悉了这种利用方程思想解决问题的思路，也一起进行了实践，现在，又到了你自己动手实践的时候了•请你自己实践几道题目，如果都没有问题，说明你这一部分已经掌握得很好了，祝你成功！实践对于我们一起实践的那道题目，如果我们不设AM和AN的直线方程，而是设直角三角形斜边MN的直线方程，又该如何来做呢？指点迷津：如果要利用直线孙，我们当然还是要先设出MN

6、的直线方程：y=kx^b.然后将直线方程代入到椭圆的方程中去.这样，我们就可以得到用k,b表示的可是什么时候才能保证得到的是等腰直角三角形呢？显然，在等腰直角形屮，A到斜边中点的距离等于斜边的一半，而MN中点的坐标我们是可以表示出来的.所以利用这样的等量关系，我们就可以得到关于k的方程（3以+1）/（4+3疋）=o,显然，方程只有一个解，即20,也就是，满足条件的直线MN只有一条.实践略解：存在一个这样的等腰直角三角形.实践2：过点Q(1,1)作双曲线F一丄=1的眩MN,使Q为MN的中点，求直线2MN的方程.实践迷津：这道题目要求直线MN的方程，而我们己经知道了MN过点(

7、1,1),所以可设直线方程为y-l=k(x-l)f然后我们将直线方程代入到双曲线方程中，得到一个关于x的一元二次方程.又因为Q是山的屮点，根据这样的关系，我们就可以求出k的值，从而写出了直线MN的方程.k解的出吗?实践略解：直线MN不存在.