材料：复数运算及复数方程-新课程答疑材料——复数

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1、复数运算及复数方程一、复数概念与运算1、(1)复数的单位为i,它的平方等于一1,即r=-l.(2)复数及其相关概念：①复数：形如a+bi的数(其中a,bwR)；②实数：当b=0时的复数a+bi,BPa；③虚数：当方HO时的复数a+bi；④纯虚数：当a=0且方H0时的复数a+bi,即加.⑤复数集C：全体复数的集合，一般用字母C表示.2、复数是实数的充要条件：①z=a+b/WROb=0(a^bWR)；②zWROz=Z;③ZWRo

2、Z2=Z2.3、复数是纯虚数的充要条件：①z=d+仞是纯虚数O°=0且毎0(d、bGR)；②z是纯虚数或0U*

3、Z+z=0；③Z是纯虚数O?<0.4、两个复数相等的定义：a+bi=c+di<^>a=c^b=d(其中，a,b,c,d,wR)特别地a+加=0oa=b=0注意：两个复数，如杲不全是实数，就不能比较人小.5、模相等比方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：

4、z

5、=

6、z.6、复数加、减、乘、除法的运算法则：设Z]=a+bi,z2=c+di(a.b.c,dgR),则知±Z2=(a±c)+(b±d)i；(777、•©ac+bdbe-ad.知p=(ac-ba)^(a

7、a+bc)i；——=+i.Z2c~+d~c~+d~7、共辘复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数.即z=a+加，则2=ci-bi,(°、方GR),实数的共辘复数是其本身.=一一一2一2性质：Z=Z、Z]+◊=Zl+22、z+Z=2d,Z-Z=2bi、z・z=1Z

8、=

9、ZIZ]—Z2=Z1—Z2、Z「Z2=Zi・Z2、丄=上丄(22工0)、z"=(z)"IS丿J8、⑴复数的乘方：z"=弭乜笛.z(〃wN+)n(2)对任何z,z1?z2eC及W有z"'・z""w,(zWT("Z2)"=z‘出・注：①以上结论不能拓展到分数指数幕的形式，否则

10、会得到荒谬的结果，$lh*2=-U4=l若由丄_汪（門*门=1就会得到_1=1的错课结论.②复数集内解方程不能采用两边平方法.（3）常用的结论：•21•4,z+l••4/z+21•4〃+3I―——1^1——1,2/+严+】+严+2十严+3=0“Gz),(l±02=±2i5-^=/,—=-il-i1+z若⑵是1的立方虚数根，即g丄土邑,则22G）3=1,69“=Q,Q==J+0+Q2=0,刃+0""+0""二0（HGZ）.（O二、复数的几何性质UUUUUUUU1UULUULA.MUUULU1、加法的几何意义：设OZ^OZ2各与复数"Z

11、2对应，woz1?oz2为边的平行四边形的对角线OZ就与可+辽对应.UUUUULURUUULILA2、减法的几何意义:设OZ[9OZ2各与复数Z1，Z2对应,则向量Z]Z2所对应的复数就是Z2・Z1，IZl-Z2I的几何意义是分別与Z],Z2对应的两点间的距离.3、复平面内的两点间距离公式：d=

12、Z]-叨・其屮是复平面内的两点引和Z2所对应的复数，d表示引和Z2间的距离.4、曲线方程的复数形式：①

13、z-“卜厂表示以"为圆心，厂为半径的圆的方程.②k一引I=

14、込表示线段z忆2的垂直半分线的方程.③z-zl+z-z2=2aCa>0

15、且2d>

16、^^2

17、）表示以Z.Z?为焦点，长半轴长为°的椭鬪的方程（若2a=z{z2^此方程表示线段Z],Z2）.®

18、

19、z—Z

20、—z~=2d（0<2ci

21、z1z2

22、»此方程表示两条射线）.5、绝对值不等式：设引，◊是不等于零的复数，贝【J①卜

23、引+乙2卜

24、引

25、+比2

26、•左边取等号的条件是S二几S（/lwR,且2v0）,右边取等号的条件是z2=QZ

27、（QwR,Z>0）.①卜1

28、十2卜

29、引-22

30、斗1

31、+

32、乃

33、・左边取等号的条件是2>0）,右边取等号的条件是z2=

34、込（2wR,a<0）.三、复数方程在复数集内解关于X的一元二次方程。兀2+/7x+c=0（gh0）时，应注意下述问题:①当a,b,cwR时，若△>（）,则冇二不等实数根小,2—b±Va2a:若△=（）,则冇二相等实数根b-/?±J

35、A

36、zX12=-—；若△<（）,则冇二相等复数根兀1.2二一F—（S为共辘复数）.*2a2ci*①当a,b,c不全为实数时，不能用△方程根的情况.②不论⑦伏c•为何复数，都对用求根公式求根，并且韦达定理也成立.四、例题解析例1、已知下列命题：（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；（2）任何两个复数不能比

37、较大小；（3）任何数的偶次幕都是非负数；（4）若t+si=3—4if则f=3、$=—4.其中真命题为.例2、（07上海高考）对于非零实数a,b,以下四个命题都成立：①a+丄H0；②（a+b）2=a2+2ab+ba②若