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1、解圆锥曲线问题常用方法(一)【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1>定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，ri+r2=2ao第二定义中，ri=edir2=ed2o(2)双曲线有两种定义。第一定义中，n-「2=2a,当门>「2时，注意「2的最小值为c-a：第二定义中，n=edi,r2=ed2>尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题
2、，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用"点差法”,即设弦的两个端点A(xi,y",B(X2,y2),弦AB中点为M(xo,yo),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：22与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),则有x+y(1)—「(a5>0)22
3、ab00k一22ab22与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有>>(1)1(a0,b0)22ab丄亠=0ok022ab(3)y2=2px(p>0)与直线I相交于A、B设弦AB中点为M(xo,yo),则有2y0k=2p,即yok=p.【典型例题】例4、⑴抛物线0>/=似上一点P到点A(3,412)与到准线的距离和最小，则点P的坐标为F的距离和最小，则点Q的坐标2(2)抛物线C:y=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点分析：(1)A在抛物线外，如图，连PF,则HhFf，因而易发现，当AHBP-FA、P、F三点共线吋，距离和最小。(2)B在抛物线内，如图，作QR丄I交于R
4、,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。连PF,当A、P、F三点共线时,+APPHPF最小，此时AF的方程为=^—2—02=4x得即y二22(x(),代入y(x1)1P(2,22),(注：另一交点为它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时,BQQFBQQR最小，此时Q点的2=4x得x=11**44x纵坐标为1,代入y4…：4点评：这是利用走文蒋項頁距离"与“点线距离”互相转化的一个典型例题,体会。y2的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆例2、XF^
5、W0
6、
7、y上一动点。(1)PA的最小值为(2)PA2PF的最小值为分析:PF为椭圆的
8、一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：(1)4-5设另一焦点为F',贝ijFr(-1,0)连AF',PF
9、P円+
10、PF
11、=
12、PA
13、+2a-
14、PF
15、=2a-(
16、PFj-P/^)>2a-
17、AF]=4一、54a=2,c=1,e=当P是F'A的延长线与椭圆的交点时'『屮
18、PF
19、取得最小值为4・5%2=4,b(2)(,1=3,c2=1,(2)作岀右准线I,作PH丄I交于H,因a・・.PFPH,2PFPH卩.+2・・・PA2PFPAPH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为例3、迹方程。2+y2=36内切，与圆动圆M与圆G:(x+1)Q:(x-1)2+y2=4外切，求圆心
20、M的轨分析:作图时,耍注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如(如图中的MCMD)o主與逢径是动圆的“半径等于半径”bJd!id共线亍I列DAB05解：如图，MC・・.ACMAMBDB即6MAMB22y・••点M的轨迹为椭圆，2a二&a=4,c=1,b2_X2=15轨迹方程为11615点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列岀(x仔y2(x1)2y2-4,再移项，平方，，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3sinA,求点A的轨迹方程。5例4、AABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=分析：由于si
21、nA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。35sinA3・2RsinA2RsinC-2RsinB=解：sinC-sinB=...AbI~IacI=-BC5*)即丄BI6・••点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）•/2a=6,2c=10…a=3,c=5.b=4所求轨迹方程为1916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在上移动，AB
