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1、1.利用Lagrange插值公式求下列各离散两数的插值多项式(结來要简化):(1)Xi-101/21-3-1/201(2)-101/21z-3/2001/2解⑵：方法一.由Lagrange插值公式厶3(X)=/()J()(X)+/1J
2、(X)+.f2厶⑴+九丿3(力2-14可得：L3(x)=x2(x-1/2)2.设/0(x),/)(%),•••,/„(x)是以兀°,K,…忑为节点的〃次多项式插值问题的基函数.(1)证明丁乂I)(x)=xk,k=0,1,2,・・・，az.z=0(2)证明g)=l+上二汕+(乂7
3、心-》)+・..兀0-兀
4、(兀0-兀1)&()-^2)77—1(兀一兀o)0一E)•••O一兀L1)(兀0—兀1)0()—兀2)•••(兀0一乞2)证明(1)由于li(Xj)=6j故：厶”0)二£#厶0),当X=Xj时有：L“(Xj)=X：,j=0,1,•••,/?/=0厶（X）也即为的插值多项式，由唯一性，有:£#iiM=xk/=()证明⑵:利用Newton插值多项式Nn(x)=/U0)+/[x0,xl](x-x0)+•••+/!兀…，兀」(兀一兀0)…(兀_兀-1)/Wd)…d)f⑴（兀（）一坷）•…（兀
5、（）-xj差商表:f(x)一阶二阶n阶差商兀0_兀1](x0-x2)(x0-Xj)兀00代入（*）式有:1（兀（）一兀］）…（旺）-xn）N”（兀）=1+x-x0（兀一兀0）・・・（兀呂1）+•••+(X()-%!)(X()-x2)•••(%()-Xn)/0W为〃次代数多项式，由插值多项式的唯-•性:有l^x)=NH(X)-1.若/(%)=x7+x3+1,问:/[3°3-37]=?;亢2°2,…,28]解/(X)=X1+X3+1.W：1.3对于/=f3/，f(x)dx的数值积分公式仏=[p(x)dx,其中/
6、?(%)为对/(x)在JoJ0x=0,h,2h进行插值的2次多项式.证明证明:3I-Ih=-/24-/W(0)+O(/25).op(x)为/(x)于x=0,h,2h进行插值的二次多项式，贝其中:f(x)=p(x)^-R(x)R(x)_J3兀(兀h)(x2/7).求积分公式误差r3/tr3hE(f)=£fMdx-£p(x)dxfinm=£x(x-/?)(%-2/?)t/xfihfm(Q)=1)—x(x-h)(x-2h)dxQhf⑷(〃)+[~~gx(x_h)(x_2h)dx,3其屮:O<^<2/2,E(f)=-
7、fm(0)-h4+O(h5).o4.5求系数Ap/l2ffA3,使求积公式f1/(x)Jx«A./(-1)+A2/(-1/3)+AJ*(1/3),J-i对于次数S2的一切多项式都是精确成立的.解：求积公式[f(x)dx«A/(-D+人』(一%)+人/(%)是一个插值型求积公式，令/(%)=1,x,%2得：?1
8、++Ay=2,_A_*血=0，人+扣+扫=%，解得：A=%，a2=o,a3=^4.12确定参数d使求积公式的代数精度尽可能地高«号［/（0）+/（/?）］+"2［厂（°）—广（力）］.（*）解令：/（x
9、）=xn,n>2得：丄/+】=丄hll+}-anhn+i,n+1211h-1=an,a=n+122n（n+1）公式⑴对/（x）=1>X精确成立.当n=2时，。=%2，斤=3时，。=%2，n~^时，a故：当取。=%2时（*）具有3次代精确度.口4・13假定求积公式[x2f(x)dxAQf(xQ)对于1,兀精确成立,试求x0,Aq解：由J,^dx=Aox0%，£xf(x)dx^^f(0).x2dx=Ao31-1X可得：A）=-03故：x2dx=0□建立Gauss型求积公式:6Xl+X2=~4.14解：令:J（
10、X）=（兀一兀］）（兀一），和f2（X）=X（X-Xj）（x-x2）代入得:4.16求数值微分公式的余项.解：于兀0，x0+2h,%0+h三点作/0）的Lagrange插值多项式：的）=（“儿-佬乍。-2防心）2"+17）（：「-2力心+册+（-律:严-册心+2防厶;心-：严心）Ln（2x-2x0-2/?）（2x-2x0-/?）r/+~i/（兀（）+力）+/（兀0+2力）.令兀=心，得：广（兀0）U（-3/（x0）+4/（X。+力-/（x0+2/0）/2h余项：因为R（X）=/（X）-厶2（兀）='「叭兀_x
11、o）（x_兀0_h）（x一心一2h）尺（兀o）=广（兀o）-厶（兀o）=1.4.用Gauss逐步消去法解方程组■12r”O223=3-1-30・兀3._2_解：消元:「12f_0_第1步：0-21x2——30-11_X3_2「12r_0_第2步：0-21兀2—3012兀312回代:=>%]=!,x2=~5.5用列主元消去法解方程组'02_5_110—3232/3__0"232O解：第1步：110
