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1、效用函数临界保费分析论文1保险定价问题引理1(Jensen不等式)设决策者的风险是厌恶风险，即它的效用函数u(x)满足L(x)>O,u〃(x)假定决策者(保险人)拥有财富W.若要承保，则可以在原有财富W的基础上增加一笔保费收入G,但是得替被保险人承担风险，其财富变成了随机变量W+G-X,其屮随机变量X表示风险，其概率分布为F(x).若不承保，则保险人确定地拥有财富W.设保险人关于确定量和关于随机变量分布的效用函数分别为u(x)和U[X],则对保险人而言，“合理”的承保保费应满足不等式U[W+G-X]2u(W).G
2、越小，要承保的效用U[W+G-X]越小，当G小到使等号成立吋，承保已无任何吸引力，所以保险人愿意接受的最底保费G*是使得上式等号成立的临界值，称为临界保费.根据期望效用原理，随机变量X的“效用”U[X]可以转化为随机变量函数U(X)的期望，即U([X])=ELu(X)]=/Du(x)dF(x).其中F(x)是随机变量X的分布函数,D是随机变量X的取值范围.主要结论对于风险决策者常用的效用函数有以下几种：直线型效用函数、抛物线型效用函数、指数型效用函数、对数型效用函数和分数幕型效用函数等•下面给出前3种情况下的临界
3、保费•命题1设保险人的效用函数为直线型，u(x)=ax+b,理赔X的概率分布为F(x),则临界保费G*二E[X]・证明考虑保险人定价的效用方程为U([W+G*—X])二u(W).•••U([W+G*-X])二E[u(W+G*-X)]二E[a(W+G*-X)+b]=aW+aG*-aE[X]+b,u(W)=aW+b,联立两式得G*=E[X].命题1说明对于风险态度中立的决策者来说，临界保费即是纯保费，但这只是一种理想的情况.命题2设保险人的效用函数为抛物线型，u(x)=x-ax2,其中a>0,0G*=E[X]+(12
4、a-W)-(12a-W)2-o2(X).证明考虑保险人定价的效用方程为U([W+G*-X])二u(W)・VU([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]二12a0[(W+G*-X)-a(W+G*-X)2]dF(x)二W+G*-E[X]-a{(W+G*)2-2(W+G*)XE[X]+E[x2]},u(W)=W-aW2,联立两式得下列方程-a(G*)2+(1-2aW+2aE[X])G*+(2aW-1)E[X]-aE[X2]=0.解关于G*的一元二次方程得G*=2aw-1-2aE[X]+(1-2aW)2-4a2o2
5、(X)-2a=E[X]+(12a-W)-(12a-W)2-o2(X).特别地，当W=0时，G*二E[X]+12a-(12a)2-。2(X)~E[X]+aa2(X),此时o2(X)12a.这正是非寿险保费肚价中的“方差原理”，因为在金融分析中常用方差(或标准差)来度量风险的大小，方差越大，不确定的程度越大•保险人把它作为一条加费的理由，因而在纯保费E[X]的基础上又多了一项“安全附加费用”•命题3设保险人的效有函数为指数型,u(x)=-e-ax,a>0,假设理赔X的概率分布为F(x),则此时临界保费为G*=laln
6、MX(a),其中MX(a)为理赔随机变量X的矩母函数•证明考虑保险人定价的效用方程为U([W+G*-X])=u(W).U([W+G*-X])二E(u[W+G*-X])=+ooO-e-a(W+G-X*)dF(x)=-e-a(W+G*)+°°0eaxdF(x)=-e-a(W+G)*MX(a),u(W)=-eaW,联立两式得G*=laMX(a).可以看出对于这类特殊的效用断数，临界保费与保险人所拥有的财富大小无关.总结效用理论一直是研究在风险和不确定条件下进行合理决策的理论基础，保险研究之中除保险定价以外，决定合理的准
7、备金、自留额以及选择合理的财务方案都可以以此作为决策的原理.因此，它具有很强的理论指导作用.从以上几个例子可以看出，实际保险定价中常用的“均值原理”和“方差原理”等只不过是期望效用的特殊形式，它们对应着一次、二次多项式等简单的效用函数•类似地，还可以讨论对数效用函数u(x)=lnx、分数幕效用函数u(x)=xr(0论文关键词:效用函数临界保费理赔论文摘要:根据保险人保险定价的效用方程，分别讨论了在3种不同效用函数下的临界保费.参考文献[1]谢志刚，韩天雄•风险理论与非寿险精算[M].天津:南开大学出版社,2000
8、.[2]茹诗松，王静龙,濮晓龙•高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2000.[3]卢仿先，曾庆五•寿险精算数学[M]•天津:南开大学出版社，2001.[4]胡炳志•保险数学[M]•北京：中国金融岀版社，1991.
