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1、数学学年论文毕业论文压缩映射原理压缩映射原理及其应用摘耍：本文较详细地论述了Banach空间中的压缩映射原理，以及它在关于一•些问题的解的存在唯一性定理证明中的广泛应用。关键词：抽象函数,不动点，压缩映射,抽象微分方程，隐函数存在性理引言：压缩映射原理的研究是算子方程Fx二x的求解问题，它不仅具有实义，而且对泛函分析理论的发展起着重大作用。我们首先介绍不动点和压缩映射的定义以及压缩映射原理，并在此基础上，进一•步给出一个推广的压缩映射原理。压缩映射原理不仅指岀了算子方程x二Fx的解的存在性和唯一性，而且给岀了近似求解的方法及误差佔计，因而是很有用的。微分方程初
2、值问题的解的存在唯一性定理及毕卡(Picard)逐次逼近法就是它的特例。在Banach空间中这一问题将更为普遍。数学分析中的隐函数存在定理也是压缩映射原理的一个特例。一、几个定义及压缩映射原理定义1设X,Y为巴拿赫空间，算子F:XY(一般地，F是非线性的)。如果存在有界线性算了A(X,Y)使得关系式limtOF(xOth)F(xO)Aht对于满足h1的hX是一致成立的，则称算子F在点xOX处是'弗力许(Frechet)可微的,并记F(xO)A,称为算子F在点xO处的弗力许导数。为了给出关于算子的有限增量公式(相当于屮值定理)，我们引入关于抽象函数的积分的概念。
3、设x(t)是由实数域到巴拿赫空间X的算子。这种算子通常称为“抽象函数”。现设x(t)的定义域是区间[a,b]o将[a,b]分成n个小区间，分点为at1t2tnb记此分划为，tititi1及肛)maxti在每个小区间[til,ti]±任取一点i,作和式x()tiiIni(*)定义2如果对任意的分划及i的任意取法，当d()0时和式(*)都收敛(在X中范数意义下)于同一个元索rX,则抽象函数x(t)在[a,b]±黎蔓可积的，r称为x(t)在[a,b]上的黎蔓积分，记为上弗力许可薇，且bax(t)dtr性质1设抽象函数x(t)黎蔓可积，则抽象函数u(t)x(s)ds在
4、[a,b]atu，(t)x(t),atb(**)定义3设X为巴拿赫空间，F为由X到X的算子，ILD(F)R(F)非空。如呆x*$X满足F(x*)二x*则称x*为算子F的不动点。换句话说，不动点x*是算子方程x=F(x)(1)的解。定义4设集合QD(F),如果存在常数qe(0,1),使得对任意的x',x''Q均有不等式I
5、F(x)-F(x)
6、IWq
7、
8、x-x11(2)则称F为集介Q上的压缩算了，q称为压缩系数。定理1(压缩映射原理)设算子F映巴拿赫空间X中的闭集Q为自己。且F为Q上的压缩算了，压缩系数为q,则算了F在Q内存在唯一的不动点x*。若xO为Q中任意一点
9、，作序列……xn1F(xn'),n0,1,2,(3)则序列{xn}Q,月.xnx**。并有误差估计qnxnxF(xO)xO(4)1q证明：由于FQQ・故{xn}Q设利用算了F的压缩性，可依次得到：xlxOF(xO)xO,x2xlF(xl)F(xO)qxlxOqx3x2F(x2)F(xl)qx2xlq2xn1xnqn(5)现在估计xnpxno利川⑸式可得到xnPxnxnpxnp1xnp1xmp2xn1xnqnp1qnP2qn1qlq即(qnqnp)qnxnpqnxnF(xO)xO(6)1q*由此可知｛xn｝是柯西点列，由X的完备性知存在x使得xnx.又因Q是闭集
10、故xQ.现在证明x是算子F的不动点，曲算子F在Q上的压缩性知其在Q上连续。事实上，如果x‘‘x',x,'x''Q,则由式(2)知F(x‘‘)F(x')・于是在式(3)中令n。即得xF(x)・再证x的唯-•性。设若另有一不动点xxF(x)F(x)qxxx则由于q(0,1)故上式只能在xx0时成立于是x二x•至丁-估计式(4)的证明只需在式(6)中令po证毕。压缩映射原理最常用的两种特殊情形是Q二X及Q=r(a)一一X中的闭球。对于后考，如下列推论所述3推论1设F为闭球Sr(a)X上的压缩算了，压缩系数为q,R(F)X,且F(a)a(1q)r(7)则F在Sr(a)
11、中冇唯一不动点x且序列(3)收敛于x,，收敛速度为式(4),初始近似xOnJ在Sr(a)中任取。证明：只要证F映Sr(a)为口己。如果xSr(a,)即xar,则F(a)aF(x)xxaqxa(1q)rqr(1q)rr二、推广的压缩映射原理。设算子F映集合QX为自己。对任一自然数n,算子F的n次幕定义为：当2nlF(x)已经定义，则令xQ时令F(x)FF(x),如果FnFFn1(x).k左理2设算子F映闭集QX为口己口对某一口然数k算子F为Q上的压缩算子则F在Q中存在唯一的不动点x逼近序列(3)收敛于x初始近似xOQ为任意。证明：当k二1时即为定理1。现设k1。
12、考察算子G二F,根据定理1,G在Q上有
