2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题8 立体几何与空间向量 第51练含解析

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1、训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系．训练题型【1】证明直线与平面垂直；【2】证明平面与平面垂直；【3】利用线、面垂直的性质证明线线垂直．解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系【如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等】往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：【1】直线PA∥平面DEF；【2】平面BDE⊥平面ABC.2．【2016·福州质检】如图，在

2、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，O为底面正方形对角线B1D1与A1C1的交点．【1】求证：AC1⊥平面B1D1C；【2】过E构造一条线段与平面B1D1C垂直，并证明你的结论．3．【2016·张掖第二次诊断】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．【1】求证：直线AB1∥平面BC1D；【2】求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；【3】求三棱锥C－BC1D的体积．4．【2016·山东省实验中学质检】如图所示，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上

3、底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1【0＜λ＜1】．【1】证明：PQ∥A1B1；【2】是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．答案精析1．证明　【1】因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.【2】因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝

4、E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2．【1】证明　∵AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，∵A1C1⊥B1D1，且AA1∩A1C1＝A1，AA1⊂平面AA1C1，A1C1⊂平面AA1C1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∵AC1⊂平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥平面ABC1，B1C⊥AC1，∵B1D1∩B1C＝B1，B1D1⊂平面B1D1C，B1C⊂平面B1D1C，∴AC1⊥平面B1D1C.【2】解　连结EO，则线段EO与平面B1D1

5、C垂直．证明如下：∵E是AA1的中点，O是A1C1的中点，∴EO∥AC1.∵AC1⊥平面B1D1C，∴EO⊥平面B1D1C.3．【1】证明　连结B1C交BC1于点O，连结OD，如图，则点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴AB1∥OD.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.【2】证明　∵AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴AA1⊥BD.∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A，AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1

6、A1.【3】解　由【2】知，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝BCsin60°＝3，∴S△BCD＝×3×3＝，∴V三棱锥C－BC1D＝V三棱锥C1－BCD＝××6＝9.4．【1】证明　由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1∥平面ABC，又因为平面APQB∩平面A1B1C1＝PQ，平面APQB∩平面ABC＝AB，所以PQ∥AB.又因为AB∥A1B1，所以PQ∥A1B1.【2】解　假设存在这样的λ满足题意，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连结CE，DE，CD.由【1】及正三棱柱的性质可知△CPQ为等腰三角形，APQB为等腰梯形，所以CE⊥PQ，DE⊥PQ，所以∠CED为二

7、面角A－PQ－C的平面角．连结C1E并延长交A1B1于点F，连结DF.因为＝＝λ，C1A1＝2，C1F＝，所以C1E＝λ，EF＝【1－λ】．在Rt△CC1E中可求得CE2＝＋3λ2，在Rt△DFE中可求得DE2＝＋3【1－λ】2.若平面CPQ⊥截面APQB，则∠CED＝90°，所以CE2＋DE2＝CD2，代入数据整理得3λ2－3λ＋＝0，解得λ＝，即存在满足题意的λ，λ＝.