2017_18学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词教学案

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1、1.1.2　量　词[学习目标]　1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.3.知道全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．[知识链接]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)至少有一个x∈Z，使2x＋1是整数．答：语句(1)、(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；

2、语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)、(4)是命题．[预习导引]1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．即是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．其形式为“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词和存在性命题(1)存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部

3、分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题含有存在量词的命题，叫做存在性命题．即是陈述某集合M的有些元素x5具有某种性质的命题，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．要点一　全称量词与全称命题例1　试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0

4、∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．规律方法　判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪演练1　判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解　(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而

5、x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)是无理数，但()2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．要点二　存在量词与存在性命题例2　判断下列命题的真假：(1)∃x∈Z，x3<1；5(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tanα无意义．(4)∃x∈R，cosx＝.解　(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝时，tanα无意义.(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>1，∴不存

6、在x∈R，使cosx＝，∴原命题是假命题．规律方法　存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪演练2　判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解　(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，存在性命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面

7、垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．要点三　全称命题、存在性命题的应用例3　(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．解　(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－，又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－即可．5∴所求m的取值范围是(－∞，

8、－)．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]．又∵∃x∈R，sinx＋cosx>m有解，∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，)．规律