2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法讲义新人教B版

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1、3.2.1　复数的加法与减法学习目标核心素养1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点)2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.一、复数代数形式的加减法1．运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、复数加减法的几何意义若复数z1，z2对应的向量分别为，.复数加法

2、的几何意义复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．(　　)(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．(　　)(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．[解析]　＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.[答案]　1－i3．已知z1＝3＋4i，z2

3、＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.[解析]　z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.[答案]　2i复数的加减法运算【例1】　(1)＋(2－i)－＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足

4、z

5、＋z＝1＋3i，求z.(1)[解析]　＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.[答案]　1＋i(2)解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－

6、3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则

7、z

8、＝，又

9、z

10、＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有

11、z

12、与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)A．－1＋i　　B．1－i　　　C．i　　　D

13、．－i[解析]　(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.[答案]　A复数加减法的几何意义【例2】　(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．(2)已知z1，z2∈C，

14、z1

15、＝

16、z2

17、＝1，

18、z1＋z2

19、＝，求

20、z1－z2

21、.[思路探究]　(1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量＝D列方程求解．(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．(1)[解析]　设D(x，y)，类比向量的运算知A＝D，所以有复数－i

22、－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.[答案]　3＋5i(2)解：设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由

23、z1

24、＝

25、z2

26、＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得cos∠OZ1Z＝＝－，所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此△OZ1Z2是正三角形，所以

27、z1－z2

28、＝

29、Z2Z1

30、＝1．若把上例(2)中的条件“

31、z1＋z2

32、＝”改为“

33、z1－z2

34、＝1”，则

35、z1＋z2

36、等于多少？[解]　设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2

37、，由

38、z1

39、＝

40、z2

41、＝1，

42、z1－z2

43、＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得

44、z1＋z2

45、2＝

46、z1

47、2＋

48、z2

49、2－2

50、z1

51、·

52、z2

53、cos∠OZ1Z，因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，所以

54、z1＋z2

55、＝.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，