ARCH和GARCH模型

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1、现代金融研究专题GARCH模型11、金融时间序列的特点尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融回报序列普遍表现出厚尾（fattails）和在均值处出现过度的峰度（excesspeakedness），偏离正态分布。就投资回报率而言，其分布的峰度比标准正态分布的峰度高。这表明股票投资比其它行为对更多的人而言具有同向影响，即市场具有收益时更多的人会有收益，市场亏损时，更多的人会亏损，暴发户和暴跌户为少数。厚尾意味着其波动持续时间较长。波动丛集性（volatilityclustering）和波动集中性（volat

2、ilitypooling），波动是自相关的正负冲击的非对称性：好消息和坏消息对投资者的影响以上的这些特点，传统计量经济学的线性回归模型是无法解决的。回归的结果可能是错误的231、金融时间序列的特点实证结果表明：金融资产的回报率并不完全满足正态分布对深市2000.1.4~2006.5.9日回报率样本偏度是0.75，峰度是8.91。由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，可以采用两种方法进行改进条件分布：ARCH和GARCH寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，GED分布和g&h分布4峰度K=8.91，大于标准峰值

3、3，具有尖峰特征，偏度S=0.75>0，具有右厚尾的特征。注：1、偏度（Skemness)反映的是序列分布密度对称性的指标。若偏度大于0，则分布是右偏或正偏。反之,若偏度小于0，称分布是左偏或负偏。它一般是由序列的三阶矩计算5峰度（Kurtosis)是用来测定序列分布的形状，一般以正态分布的峰度（=3）为标准，若峰度大于3，则表示该分布具有尖峰厚尾的特性；反之，若峰度小于3，则表示该分布具有低峰薄尾的特征。若峰度值较大，是由于存在大幅度偏离均值的异常值所造成的。峰度由序列的四阶矩来度量：一般服从正态分布时偏度

4、值K应有K～N(0,6/n),在本次检验中95%置信度时的置信区间应为(-0.0077,0.0077),0.0077=1.96*6/1520,因此0.7514不在此区间内，故不服从正态分布。另外，如果样本数据完全服从标准正态分布时,峰度值K应有K～N(3,24/n),在本次检验中95%置信度时的置信区间为(3–0.031,3+0.031)=(2.969,3.031),其中0.031=1.96×24/1520。而该样本的峰度值是8.916,不在置信区间内,因此不服从正态分布。6金融系列波动的丛集性特征。如图所示

5、，为上证指数对数日收益率时间序列图，从图中直观可见，收益率存在着丛集性效应(即一次大的波动后往往伴随着大的波动，一次小的波动后往往伴随着小的波动)。72ARCH模型ARCH，autoregressiveconditionallyheteroscedastic，自回归条件异方差模型条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对于不同时点的观测值），得到残差的方差是不同的，故方差随时间给出的条件而变化，即异方差。自回归：残差平方服从AR(p)过程:ut=ρ0+ρ1ut-1+ρ2ut-2+……+εt若线性回归模型的误

6、差实际上是异方差，却被假定为同方差，这就意味着标准误差的估计值是错误的。此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者不收敛，是时变的），统计检验和置性区间就不正确！89普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使得残差平方和最小。异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差方差大的观测值以较大的权重，给误差方差小的观测值以较小的权重。回归结果：使得残差平方和最小，故产生一个后果，只要方差大的那部分数据得到很好的拟合，这样普通最小二乘不再是有效的——参数估计量的方差不再是最小的方差。这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是“

7、伪方差”，无法证明回归参数与真实值的关系。10单指数模型的伪回归：中国银行11单指数模型的伪回归：中国银行122.1条件矩条件均值对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的条件分布理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数，对于X不同的取值，条件期望也是不同，即E(y

8、x)为随机变量。13所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回归。在本例中，也就是y对x的回归条件均值是x的函数，若X是一个分布，则条件均值也是一个分布。回归与条件均值142.2ARCH模型的导出注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数

9、。但是ut的条件方差随时间而变化，假设服从AR(1)过程（模型的名称来源）15正态-ARCH（q）或者或者16随机过程的平稳性平稳性：若随机过程的随机特征（如均值，方差）不随时间发生变化，则称该过程是平稳。区别：条件方差是时变的，故其为一个分布，但是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随机性质不随时间而变。平稳性的优点：（1）可用系数方程将时间序列的模型化；（2）方程的系数可以利用序列的过去数据来估计